Распределение Больцмана со степенными «хвостами»: новое мультипараметрическое аналитическое приближение для распределений прод

ПОЧЕМУ ЭТО ИНТЕРЕСНО?
Экономика - проблема доходов и расходов:
Экспоненциальные распределения с асимптотиками («хвостами») Парето;
Физика – проблема горячих электронов:
Вид асимптотики до конца неизвестен;
Причина: все процессы типа диссоциации, ионизации и т.п. определяются «хвостами» распределений взаимодействующих частиц.

«БЕСХВОСТЫЕ» РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Распределение продаж сотовых телефонов в России в 2006 году
Распределение заработной платы в России апреле 2011 г.

ЭЛЕКТРОННЫЕ СПЕКТРЫ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДОВ В США В 2004 г. И ПРОДАЖ НОВЫХ АВТОМОБИЛЕЙ В 2005 г.
Средний доход 51.3 k$ Средняя цена 25.6 k$
T=38.7±1.1k$ T=9.3±1.2k$
Показатель Парето Показатель Парето α= 2.5
α= 2.65±0.02

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДОВ В ВЕЛИКОБРИТАНИИ В 2003/4 г. И ПРОДАЖ НОВЫХ АВТОМОБИЛЕЙ В 2004 г.
Средний доход 22 k£ Средняя цена 11.2 k£
T=14.0±4.3k£ T=7.5±1.1k£
Показатель Парето Показатель Парето α= 0.8
α= 2.96±0.17

СРАВНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПРОДАЖ НОВЫХ АВТОМОБИЛЕЙ И ДОХОДОВ
USA (1998): средний доход 43.4 k$, T = 33.9 k$;
USA (2004): средний доход 51.3 k$, T = 38.7 k$; средняя цена нового авто 25.6 k$, T = 9.3 k$
(средний доход )/(средняя цена нового авто ) = 2
(доход T)/(авто T) = 4
UK (2003/04): средний доход 22 k£, T = 14 k£; средняя цена нового авто 11.7 k£, T = 7.5 k£;
(средний доход )/(средняя цена нового авто ) = 1.5
(доход T)/(авто T) = 1.5

ПРОБЛЕМЫ В ОПРЕДЕЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Первая точка экспоненты:
Отказались от приближения, в котором распределение
и перешли к приближению
которое также удовлетворяет закону Больцмана и лучше описывает экспериментальные распределения.
Для новых автомобилей в России это стало справедливо в 2006 г.
Причина: весомость первой точки метода наименьших квадратов для (резко) падающих распределений

РЕШЕНИЕ
Следует производить аппроксимацию не по методу наименьших квадратов, а по методу относительных наименьших квадратов, т.е. каждый раз делить на текущее значение аппроксимируемой функции. Тогда «вес» каждой точки аппроксимации будет примерно одинаковым.
Практически это означает, что аппроксимировать надо всю кривую сразу.

МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО КРИВЫХ С БОЛЬЦМАНОВСКОЙ ОСНОВНОЙ ЧАСТЬЮ И ХВОСТОМ ПАРЕТО

ОБЩИЙ ВИД РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Functions WTβθ for β=2 (solid curve), β=3 (dotted curve), β=4 (dashed curve) in semi-logarithmic scale. The straight line is an exponent exp(-R). Here T=1, θ=100 for β=2, θ=20 for β=3, and θ=10 for β=4
Functions WTβθ for β=2 (solid curve), β=3 (dotted curve), β=4 (dashed curve) in double-logarithmic scale. The straight line 1 is an asymptote ~ R-2, 2 is an asymptote ~ R-3, 3 is an asymptote ~ R-4.

СРАВНЕНИЕ ДЛЯ США
Старая аппроксимация:
β = 2,65
Наша аппроксимация:
β = 2, θ = 100 (доходы),
θ = 1000 (машины)

ПРОДАЖИ НОВЫХ АВТОМОБИЛЕЙ В РОССИИ В 2008-2009 гг.

РЕГУЛИРОВКА «ХВОСТА»

ОБЩАЯ ФОРМУЛА