Расстояние от точки до плоскости.

Тогда отрезок СВ, соединяющий основание перпендикуляра(точку В) и основание наклонной (точку С)– это проекция данной наклонной на плоскость.
Знать понятия:
Перпендикуляр к плоскости, его основание, наклонная к плоскости, ее основание, как найти проекцию наклонной, проведенной к плоскости.

•
А
α
Н
М
Найти:
d
а) Наклонную АМ
Обоснуйте, почему треугольник прямоугольный и найдите остальные неизвестные величины сами.

Знать понятия:
расстояние от точки до плоскости.
Обратите внимание как на рисунке обозначается расстояние ( величина «ро»)
плоскость.
Нетрудно догадаться, что расстоянием от точки до прямой будет длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой.

С
В
А
•
М
4
4
4
6
Расстояние от точки М до плоскости треугольника - это длина какого отрезка?
Ответ: MH , где MH – перпендикуляр из точки М к плоскости.
H

С
В
А
•
М
4
4
4
6
H
Как определить, где именно расположена внутри треугольника точка H?
Рассмотрите треугольники MHC, MHB, MHA. Докажите их равенство.
Сделайте вывод о равенстве отрезков HC, HB, HA.
Это значит, что точка Н равноудалена от вершин данного треугольника, т.е. она центр описанной около этого треугольника окружности. А т.к. этот треугольник правильный, то точка H – точка пересечения медиан(биссектрис, высот)
Найдите CH, зная сторону правильного треугольника, а затем из треугольника CHM найдите искомую высоту HM

Теорема о трех перпендикулярах.

А
С
В
D
Т.к. DA – перпендикуляр к плоскости, то эта прямая перпендикулярна и к АС и к АВ
Соберем теорему о трех перпендикулярах:
DA – перпендикуляр к плоскости
DС – наклонная к плоскости(С-основание наклонной)
АС - проекция наклонной
СВ – прямая, проходящая через основание наклонной.
Т.К. СВ (прямая) перпендикулярна к АС(проекция), то она же по теореме(прямая ВС) перпендикулярна и к наклонной (DC).
Т.Е. угол BCD – прямой. Значит и треугольник CBD – прямоугольный с прямым углом С.
Решите задание б) задачи самостоятельно.

А
В
С
D
F
8
4
Найти: расстояния от точки F до прямых содержащих стороны квадрата
1) ρ (F,AB)
2) ρ (F, BC)
3) ρ (F, AD)
4) ρ (F, DC)
На слайде 4 можно напомнить себе определение расстояния от точки до прямой.

А
В
С
1) ρ (F,AB) 2) ρ (F, BC)
F
8
4
Т.к. FB – перпендикуляр к плоскости, то FB перпендикулярен и АВ и ВС.
Значит ρ (F,AB) = ρ (F, BC)=FB=8дм
D
3) ρ (F, AD)
4) ρ (F, DC) – сделайте самостоятельно, по аналогии с 3)
Проведем из точки F перпендикуляр FH к прямой AD.
H
Соберем теорему о трех перпендикулярах:
FB – перпендикуляр
FH – наклонная
BH – проекция
AD – прямая, проходящая через основание наклонной(и ей перпендикулярна по построению)
Значит, по теореме AD перпендикулярна BH.
Но к AD уже есть прямая ей перпендикулярная, это АВ, т.к. ABCD – квадрат.
Значит ρ (F, AD)=AF. Найдите его из треугольника AFB.

Найти: расстояния от точки F до прямых содержащих диагонали квадрата
1) ρ (F,BD)
2) ρ (F,AC)
А
В
С
D
F
8
4
Обоснование рисунка и построений разберите на следующем слайде, вычислительную часть задачи проведите сами.