Решение логических задач на олимпиадах по обществознанию (методические указания и комментарии к оцениванию)

Содержание
Общие требования и критерии
Задачи на анализ логической формы
Задачи на установление соответствия
Задачи с саморекурсивными условиями
Задачи на когнитивное моделирование

1. Общие требования и критерии

Какие качества и способности проверяются?
Внимательность
Умение «держать мысль»
Ясность
Четкость
Последовательность
Чувствительность к «граничным условиям»
Рекурсия, рефлексия, парадоксы…

Требования
При решении логических задач в олимпиадах по обществознанию не требуется знание специальных логических методов и теорий
Достаточно владеть базовыми аналитическими навыками и соблюдать главные принципы рационального мышления

Картезианские «правила метода»
Правило очевидности
Правило анализа
Правило последовательности
Правило полноты

Критерии
Задача считается решенной полностью только при наличии правильного ответа и исчерпывающего обоснования
Всевозможные схемы, таблицы, графики, разметки не считаются обоснованием, если они не сопровождаются четко сформулированной последовательностью умозаключений

Часто встречающиеся ошибки
Неправильно проанализирована логическая форма
отрицание / утверждение?
и / или?
все / некоторые?
условие / следствие?

Например
Многие депутаты поддержали законопроект (все? некоторые?)
Курить и употреблять спиртные напитки запрещено (и? или?)
Все ослы млекопитающие, так как все парнокопытные млекопитающие (где посылка, а где следствие?)

Часто встречающиеся ошибки
Утверждаемое заключение не следует логически из посылок («non sequitur»)

Часто встречающиеся ошибки
Предвосхищение основания («petitio principii»)
Бог существует, поскольку об этом говорится в Библии, которая, как мне известно, истинна, потому что ее написал Бог, как-никак!
Texas sharp-shooter

Часто встречающиеся ошибки
Отступление от тезиса («Ignoratio elenchi»)
Доказывается не то, что следует, или опровергается не то, что должно быть опровергнуто
3 раза по 2 будет не 6, а 4 (три раза ломаем спичку пополам).
Зенон и Диоген о существовании движения

2. Задачи на анализ логической формы

Проверим внимательность
Может ли католик жениться на сестре своей вдовы?

Проверим внимательность
В городе есть всего два парикмахера, у каждого из которых своя парикмахерская
Заглянув в первую, вы видите, что в салоне грязно, сам мастер неряшливо одет, небрежно пострижен и плохо выбрит
В салоне другой парикмахерской идеально чисто, сам мастер изысканно одет, безукоризненно пострижен и выбрит
Какой из них более профессионален в своем деле и почему?

Задача 1
Директор школы возражает против отмены решения о запрете контроля за прическами
Тем самым он выступает за свободу причесок или против?

Решение
Свобода причесок (А)
Контроль за прическами (не-А)
Запрет контроля за прическами (не-не-А)
Отмена решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-А)
Несогласие с отменой решения о запрете контроля за прическами (не-не-не-не-А)
Следовательно, директор за свободу причесок

Задача 2
Спикер безапелляционно отверг домыслы о том, что он собирается отменить приказ о запрете уклонения от поступков, вступающих в противоречие с регламентом нижней палаты парламента
Соответствует ли позиция спикера его функциям?
Нет, не соответствует (5 отрицаний)

Задача 3
Джонс, Смит и Браун подозреваются в преступлении. Виновен только один из них .
Джонс сказал: «Это преступление совершил я»
Смит сказал: «Это сделал Браун»
Браун сказал: «Я не виновен»
Только один из них солгал
Определите, кто на самом деле виновен

Решение
Утверждения Смита и Брауна противоречат друг другу («Это сделал Браун», «Браун не виновен»)
Значит, один из них точно солгал (в силу закона непротиворечия)
По условию задачи, из всех троих солгал только один. Мы уже установили, что это либо Смит, либо Браун
Следовательно, Джонс точно сказал правду
Следовательно, его высказывание «Это преступление совершил я» истинно
Следовательно, Джонс виновен

3. Задачи на установление соответствия

Задача 4
В одном классе учились три девушки – Лена, Оля и Катя
Лена сказала: «Я самая старшая»
Оля сказала: «Я моложе Кати»
Катя сказала: «Я старше Лены»
Все они солгали
Расположите их по возрасту, от самой младшей к самой старшей

Решение
Лена не самая старшая (1)

Решение
Лена не самая старшая (1)
Оля старше Кати (2)
Лена старше Кати (3)
Катя - самая младшая (из шагов 2 и 3)

Решение
Лена не самая старшая (1)
Оля старше Кати (2)
Лена старше Кати (3)
Катя - самая младшая (из шагов 2 и 3)

Решение
Лена не самая старшая (1)
Оля старше Кати (2)
Лена старше Кати (3)
Катя - самая младшая (из шагов 2 и 3)
Лена средняя по возрасту (из шагов 1 и 4)

Решение
Лена не самая старшая (1)
Оля старше Кати (2)
Лена старше Кати (3)
Катя - самая младшая (из шагов 2 и 3)
Лена средняя по возрасту (из шагов 1 и 4)
Оля – самая старшая

Задача 5
В одном классе учатся Андреев, Борисов и Васильев. Один из них отличник, другой хорошист, третий – троечник.
Борисов иногда списывает у хорошиста
Андреев иногда списывает у отличника
Васильев никогда ни у кого не списывает и сам списывать не дает
Расположите их в порядке успеваемости

Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)

Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
В=Тр

Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
В=Тр
Б≠Хор (1)

Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
В=Тр
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор

Решение
В≠Хор,Отл (1,2,3)
В=Тр
Б≠Хор (1)
Б=Отл
В=Хор

4. Задачи с саморекурсивными условиями

Что такое рекурсия?
Реку́рсия — наличие в определении, описании, изображении какого-либо объекта или процесса самого этого объекта или процесса, то есть ситуация, когда объект является частью самого себя.

Задача 6
На одном острове живут два племени
Люди племени А всегда говорят правду, а люди племени В всегда лгут
Путешественник встречает двух туземцев и спрашивает 1-го: «Ты из племени В?»
Тот отвечает: «Тарабара»
«Он сказал «Да», – поясняет 2-й. – «Но не верьте ему – он ужасный лжец»
К какому племени принадлежит каждый из них?

Решение
Что значит ответ «Тарабара?»
На вопрос «ты лжец?» любой ответит «Нет» (Ср.: парадокс лжеца)
«Тарабара» = «Нет»
Значит, 2-й туземец из племени лжецов (В)
Следовательно, ему нельзя верить – первый вовсе не является лжецом
1-й туземец из племени правдивых (А)

Задача 7

1) Все следующие предложения ложны
.
.
.
n) Все следующие предложения ложны
n+1) Некоторые предыдущие предложения истинны
.
.
.
n+m) Некоторые предыдущие предложения истинны
Допустим, 1-е предложение истинно
Тогда последнее предложение ложно
Но оно утверждает истинность первого – противоречие!
Значит, 1-е предложение ложно
Аналогично доказывается, что все первые n предложений ложны
Тогда (n+1)-е предложение (говорящее, что некоторые предыдущие истинны) ложно
Последние m предложений устроены так, что если какое-то из них ложно, то и следующее за ним тоже ложно (ведь первые n предложений ложны, как мы уже показали)
Значит, ВСЕ предложения в списке ложны (доказывается по индукции)
Но именно об этом и говорит первое предложение! Следовательно, оно истинно (возвращаемся в исходную точку)
Таким образом, мы получили неразрешимое противоречие, т.е. парадокс

Задача 8
В одном храме собрались три божества – бог Истины (всегда говорит правду), бог Лжи (всегда лжет) и бог Дипломатии (иногда лжет, иногда говорит правду ). Они расположены в ряд и пронумерованы. Определите, кто из них кто.
1: справа от меня бог Истины
2: я – бог Дипломатии
3: слева от меня бог Лжи

Решение
1 не бог Истины (такой только один, значит, он не может назвать кого-то другого богом Истины)
2 не бог Истины (он не сказал бы про себя неправду)
3 – бог Истины; значит, ему можно верить
2 – бог Лжи
1 – бог Дипломатии
1 2 3
Д
Л
И

5. Задачи на когнитивное моделирование

Задача 9
Есть три колпака – два белых и один черный
Двое игроков закрывают глаза и каждому из них на голову надевают по одному колпаку
Открыв глаза, игрок не может видеть, какого цвета колпак у него на голове, но должен узнать это посредством рассуждения
Победителем считается тот, кто первым даст правильный ответ

Сложность в том, что обоим игрокам надели белые колпаки
На первый взгляд, при таком раскладе задача решения не имеет, и игроки некоторое время растерянно молчат
Тем не менее, выигрышное рассуждение существует!

Решение
На моем противнике белый колпак
Значит, на мне самом может быть белый или черный
Предположим, что на мне черный колпак.
Тогда мой противник видит перед собой человека в черном колпаке
Черный колпак всего один
Если мой противник не глуп, он сразу поймет, что на нем белый колпак, и скажет об этом
Но он молчит
Значит допущение, что на мне черный колпак, было неверным
Следовательно, на мне белый колпак

Задача 10
Могущественный некромант заточил в темницу двух белых магов и подверг их суровому испытанию.
Суть испытания в том, что каждому из них на лоб приклеят табличку с одним из двух чисел – 1 или 0 (числа могут быть одинаковыми). Видеть свое число никто из них не сможет, но зато можно будет увидеть число на лбу соседа.
После этого оба они должны написать на бумаге, чему равно произведение их чисел. Если хотя бы один даст правильный ответ, их отпустят. Если же оба ошибутся, то будут казнены.
Разговаривать и подавать друг другу знаки им запрещено, ответы друг друга они тоже видеть не должны. Как им избежать казни?

Ответ
Каждый из них должен написать число, которое видит на лбу другого.

Решение
Если я вижу у него 0, произведение в любом случае будет равно 0. Значит, надо писать 0 (мы выиграли).
Он тоже это понимает и напишет 0, если увидит у меня 0 (мы выиграли).
Если я вижу у него 1, а у меня самого 0, мы выиграем за счет его правильного ответа (ведь он напишет 0, увидев у меня на лбу 0 – см. пред. шаг). Я могу писать что угодно.
Если я вижу у него 1 и у меня самого 1, целью становится, чтобы мы оба не написали 0. Хотя бы один из нас должен написать 1. Для надежности, пусть это буду я (тогда мы точно выиграем за счет моего ответа).
В любом случае, если я вижу у него 1, мне следует писать 1.
Он тоже это понимает и напишет 1, если увидит у меня 1.