Решение систем линейных уравнений методом Гауса

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности

Система уравнений:
2x2+4x3 – x4=12
– x1+x2 – 2x3 – x 4= – 15
4x1 – 8x3 – x4=12
2x1 – x2 – 4x3 – 2x4= – 3

Приведем данные уравнения к виду расширенной матрицы 5х4 этой системы

Произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
а)перемножая все элементы первой строки на 4 и 2
и прибавляя соответственно к 3 и 4 строкам, получаем требуемые нули в первом столбце матрицы

б) в полученной матрице все элементы второй строки умножаем на (-2) и прибавляем к третьей строке, затем делим все элементы второй строки на (-2) и прибавляем к четвертой, для получения необходимых нулей во втором столбце.

в) В полученной матрице все элементы четвертой строки делим на (-10)
и перемножаем на 24

г) для получения необходимого нуля в третьем столбце в полученной матрице ко всем элементам четвертой строки прибавляем соответствующие элементы третей строки

В полученной матрице для упрощения разделим третью строку на (-3),
а четвертую умножим на 5
и разделим на (-27)

В результате всех этих преобразований данная матрица приводится к треугольному виду:

Подставляя элементы преобразованной диагональной матрицы, получаем систему уравнений следующего вида:
-x1+x2–2x3–x4 = -15
2x2 + 4x3 – x4 =12
8x3+x4=24
x4=4