Серединный перпендикуляр

Урок геометрии в 8 классе
Тема: Теорема о серединном перпендикуляре
Цели:
ввести понятие серединного перпендикуляра к отрезку;
рассмотреть теорему о серединном перпендикуляре и следствие из него;
Формировать умения применять известные знания в незнакомой ситуации, сравнивать, анализировать, обобщать.

Устно: 1. Найти: MK
Ответ: 3
?

Δ BME: ME=3-египетский
треугольник;
2) BM-биссектриса  EM=MK=3
Ответ: 3

Устно: 2. Найти: SАВM.
Ответ: 35
?

Ответ: 35

Геометрия - удивительная наука. Её история насчитывает не одно тысячелетие, но каждая встреча с ней способна одарить и обогатить волнующей новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества. Действительно, любая задача элементарной геометрии является, по существу, теоремой, а ее решение – скромной (а иногда и огромной) математической победой.

Серединный перпендикуляр
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему
аАВ и АО=ВО (О=аАВ)

Теорема:
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Дано: М - произвольная точка а,
а- серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Доказать:
МА=МВ
Доказательство:
Если М АВ, то М совпадает с
точкой О  МА=МВ.
2) Если М  АВ, то  АМО=  ВМО по двум катетам (АО=ВО, МО- общий катет)  МА=МВ.

Обратно: Каждая точка, равноудаленная от концов этого отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Дано:
NА=NВ, прямая m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Доказать: N – лежит на прямой m.
Доказательство:
1)Пусть N  АВ, тогда N совпадает с O, и N лежит на прямой m.
2) Пусть N АВ, тогда:
 АNВ – равнобедренный (AN=BN)  NO медиана  высота  АNВ 
NO AB.
3) Через точку О к прямой АВ можно провести только один серединный перпендикуляр 
NO и m совпадают  N  а.

Следствие:
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Дано:
mAC, nBC, AM=MC, CN=NB.
Доказать: O= mn p.
Доказательство:
1) Предположим: m║n,
тогда: ACm и ACn,
что невозможно.
2) По доказанному:
OC=OA и OC=OB 
OA=OB,  т.Op 
O= mn p.

№679 б
Дано: ΔABC, DM-серединный перпендикуляр, BD=11,4, AD=3,2.
Найти: AC.
Решение:
АС=AD+DС;
Δ CDB: DM- серединный перпендикуляр  DC=BD=11,4см
АС=AD+DС=11,4+3,2=14,6см.
Ответ: АС=14,6см.
?

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

№ 680 а
Дано: ΔABC, FDAC, PDAB;
CF=FA, AP=PB.
Доказать: D-середина BC.
Доказательство:
PDAB, AP=PB BD=AD по свойству серед. перп.
2) FDAC, CF=FA  CD=DA по свойству серед. перп.
3) AD=BD, CD=DA BD=CD, значит В-середина ВС.
?

№682
Дано: Δ ABC, AC=CB;
Δ ADB, AD=DB
Доказать: CD AB, AK=KB.
Доказательство:
Пусть l-серед. перпенд., AC=CB,
Сl, lAB, AD=DB  Dl₁,
где l₁AB.
Следовательно: C и D
лежат на одном серед. перпенд.
к AB и l и l₁ совпадают т.к.
AK=KB CDAB, K= CDAB и
AK=KB

Оцените свою деятельность по пятибалльной шкале:
Устные задачи-
Работа у доски –
Работа на месте –
Итого: ____
(сложите получившиеся баллы и разделите на 3)
Самооценивание

Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9 классы. –
М:, Просвещение, 2008г.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. «Изучение геометрии в 7-9 классе». Методические рекомендации. М:, Просвещение, 2007г.
3. Зив Б.Г., Мейлер В.М. «Дидактические материалы по геометрии. 8 кл». М:, Просвещение, 2007г.
Использованная литература