Сети Петри

Сети Петри — инструмент исследования систем, применяемый исключительно в моделировании.
Теория сетей Петри делает возможным моделирование системы математическим представлением ее в виде сети Петри.
Анализ сетей Петри поможет получить важную информацию о структуре и динамическом поведении моделируемой системы.
Во многих областях исследования проводятся через модели.
Сети Петри разрабатывались для моделирования систем, которые содержат взаимодействующие компоненты.
Следовательно:
Сети Петри — математический аппарат для моделирования
динамических дискретных систем.
Что такое сети Петри?

Применение теории сетей Петри
Сети Петри рассматриваются
как вспомогательный элемент
анализа. Для построения сис-
темы используются общепри-
нятые методы проектирова-
ния, строится сеть Петри и
анализируется модель.
Процесс проектирования и определения характеристик прово-
дится в терминах сетей Петри. Методы анализа применяются
только для создания проекта сети Петри, свободного от ошибок.
Задача заключается в преобразовании представления сети Петри
в реальную рабочую систему.
Возможно несколько путей практического применения сетей Петри при проектировании и анализе систем:

Временная сеть Петри
Стохастическая сеть Петри
Функциональная сеть Петри
Цветная сеть Петри
Ингибиторная сеть Петри
Иерархическая сеть
WF-сети
Виды сетей Петри:

Основные понятия
Сеть Петри состоит из четырех элементов:
множество позиций P (схематически обозначаются кружками);
множества переходов T (обозначаются черточками);
входной функции I;
выходной функции O.
Входная и выходная функции связаны с переходами и позициями.
Ориентированные дуги (стрелки) соединяют позиции и переходы, при этом некоторые дуги направлены от позиций к переходам, а другие – от переходов к позициям.
Маркировка μ – присвоение фишек позициям сети Петри.
Фишка – примитивное понятие сетей Петри. Фишки находятся в кружках (позициях) и управляют выполнением переходов сети.
1) Сеть Петри выполняется посредством запуска переходов.
2) Переход может запускаться только в том случае, когда он разрешен.
Переход называется разрешенным, если каждая из его входных позиций имеет число фишек по крайней мере равное числу дуг из позиции в переход.

А)
Б)
Варианты переходов в Сетях Петри

Ограниченность. Число меток в любой позиции сети не может превысить некоторое значение k. Позиция является k-ограниченной, если количество маркеров в ней не может превышать целое число k.
Безопасность. Позиция сети Петри является безопасное, если число маркеров в ней не превышает 1. Сеть Петри безопасна, если безопасна каждая ее позиция.
Сохраняемость. Некоторые маркеры представляют ресурсы, такие маркеры никогда не могут создаваться и уничтожаться, т.е. общее число маркеров должно быть величиной постоянной.
Активность. Возможность срабатывания любого перехода при функционировании моделируемого объекта.
Достижимость. Возможность перехода сети из одного заданного состояния в другое .
Покрываемость. Возможность достижения состояния, в которое требуется перейти.
Свойства сетей Петри

Пример траектории в сети Петри.

Дерево достижимости
Дерево достижимости представляет собой множество достижимости сети Петри.
Дерево достижимости можно использовать для решения задач безопасности, ограниченности, сохранения и покрываемости. Но в общем случае его нельзя использовать для решения задач достижимости и активности.