Синтез приоритетов в неполной иерархии

Синтез приоритетов в неполной иерархии.
Некоторые связи между двумя соседними уровнями
отсутствуют.
В этом случае в расчёты включают специальную матрицу (которую называют структурная матрица), отражающую структуру связей в иерархии.

Структурная матрица.
К1 К2 … Кn
L=
Где Ri - число элементов-потомков элемента Ki,
N- число связей между уровнями.

Пример: неполная трёхуровневая иерархия

Строим вспомогательные матрицы
А=
L=

Синтез приоритетов

Пример неэффективности метода парных сравнений
V(A1)=0,75*0,75+0,25*0,25=0,625
V(A2)=0,25*0,75+0,75*0,25=0,375
A1 ->A2

Пример неэффективности метода парных сравнений
V(A1)=0,15*0,75+0,28*0,25=0,16
V(A2)=0,066*0,75+0,69*0,25=0,22
V(A3)=0,784*0,75+0,08*0,25=0,6
А3 -> A2 -> A1

метод сравнения элементов относительно стандарта
Метод попарных сравнений может быть неудобен в некоторых случаях:
Когда альтернативы для сравнения поступают не одновременно, а через промежутки времени;
Когда в задаче большое количество альтернатив (более 8).
Кроме того, метод парных сравнений иногда выдаёт некорректные результаты при добавлении новых альтернатив (как в предыдущем примере).

метод сравнения элементов относительно стандарта
Стандарт устанавливает уровень качества объекта относительно критерия качества.
Например, критерий «ликвидность» может задавать три стандарта (уровня качества): высокий, средний, низкий.
Основная шкала стандартов: {H, M, L}.
Дополнительная шкала: {HH, HM, ML, LL}

метод сравнения элементов относительно стандарта
Стандарты стараются делать не абстрактными, а отождествлять их с некоторыми реальными объектами.
Например, по критерию «надёжность» при сравнении автомобилей можно использовать стандарты {H, M, L}:
H — BMW
M — KIA
L — Lada.

метод сравнения элементов относительно стандарта
Стандарты помещают в иерархию, вводя для них дополнительный уровень — между критериями и объектами, которые сравниваются по этим критериям (альтернативами).
Альтернативы оценивают по критериям, связывая уровни стандартов и альтернатив.

Чтобы получить векторы приоритетов альтернатив по критериям, попарно сравнивают стандарты:
Вектор приоритетов: H=0,67, M=0,24, L=0,09.

метод сравнения элементов относительно стандарта
Далее составляют вектор приоритетов для альтернатив по данному критерию. Числовые значения стандартов, соответствующих альтернативам задачи, записывают в вектор — т.о. получают вектор ЛП. Затем этот вектор нормируют, получая НЛП.

метод сравнения элементов относительно стандарта
Дальнейшие расчеты по алгоритму МАИ:
после того, как получили векторы локальных приоритетов для всех элементов иерархии,
рассчитывают глобальные приоритеты.

метод сравнения элементов относительно стандарта
A =
- численное значение стандартов, соответствующее альтернативе Ai по данному критерию.

Для получения нормированных приоритетов: , где
[S] =

Сравнение объектов методом копирования
Разделим альтернативы на два множества:
А={А1, А2, …, Аn}
В={В1, В2, …, Вm}

Пример:
Пусть для анализа поступают две новые альтернативы, свойства которых по данному критерию полностью идентичны свойствам альтернативы А3
нормируем, получаем:

Оценка согласованности иерархии
Шаг 1. Подсчет максимального собственного числа матрицы парных сравнений:
где - нормированный вектор локальных приоритетов (НЛП), - единичный вектор-строка.
Шаг 2. Подсчитывается индекс однородности:
n - это размер матрицы(размерность)

Шаг 3. Рассчитывается оценка однородности.
если <= 0,1 – то оценки согласованы,
если попадает в промежуток ( 0,1;0,2]
то оценки плохо согласованы,
если > 0,2 – оценки не согласованы.

Оценка согласованности иерархии
Определяем индекс однородности для каждого уровня иерархии:
ИО1 – для первого уровня (для элементов находящихся под К1)
{ИО2, ИО3} – для второго уровня (для элементов находящихся под К2 и К3)
{ИО4, ИО5, ИО6} – для третьего уровня (для элементов находящихся под К4, К5 и К6)

W1, W2, W3 – векторы НЛП для элементов К1, К2 и К3.
Однородность иерархии удовлетворительна для .