Синусы и косинусы

ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов

Дано: АВС
Доказать:
А
В
С

Доказательство:
S ABC = (1)
S ABC = (2)
S ABC = (3)
А
В
С

Приравняем равенства (1) и (2), получим
=
Сократим на , получим
=

Приравняем равенства (2) и (3), получим
=
Сократим на , получим
=

Объединив равенства
И
получим

Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: АВС
Доказать:
a = b + c –2bc*cosA

А
С
В
(bcosA; bsinA)
у
х
(с; 0)

Доказательство:
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, АС = b. Введем систему координат с началом в точке А. Тогда В (с; 0), С (bcosA; bsinA).
Найдем расстояние ВС:
ВС = а = (bcosA – c) + b sin A = b cos A + b sin A - 2bc cosA + c = b + c - 2bc cosA
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2