Системы счисления

План урока
Вступление
Какие бывают системы счисления
Непозиционные системы счисления
Единичная система счисления
Древнеегипетская система счисления
Римская система счисления
Греческая система счисления
Алфавитные системы счисления
Недостатки непозиционных систем счисления
Достоинства позиционных систем счисления
Какие бывают позиционные системы счисления
Развернутая форма записи числа
Свернутая форма записи числа

«Всё есть число»
Так говорили древние пифагорейцы.
Что они имели в виду?
Этой фразой пифагорейцы подчеркивали необычайно важную роль чисел в практической деятельности.
Пифагор

Определения
Цифры
Число
Система счисления
– это символы, участвующие в записи числа и составляющие некоторый алфавит.
– это некоторая величина.
– это способ записи чисел с помощью цифр.

Системы счисления
Непозиционные
Позиционные
- системы счисления, у которых количественный эквивалент цифры
не зависит от её местоположения в записи числа.
системы счисления, у которых количественный эквивалент цифры зависит от её местоположения в записи числа.
XXX = 10 + 10 + 10
333 = 300 + 30 + 3

Непозиционные системы счисления
I. Единичная система счисления

II. Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления
Непозиционные системы счисления
2000
300
40
2
единицы
десятки
сотни
тысячи
=
+
+
+
=
2342
Какое число записано?

Непозиционные системы счисления
III. Римская система счисления
I – 1, V – 5, X – 10, L – 50,
C – 100, D – 500, M - 1000
Правила составления чисел в римской системе счисления:
Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе.
Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается.
IV = V – I IX = X – I XL = L – X XC = C - X
Если меньшая цифра стоит справа от большей, то она прибавляется.
VI = V + I XI = X + I LX = L + X CX = C + X
Примечание: Левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок:
Перед L и C из младших может стоять только X,
перед D и M – только С, перед V – только I.

Непозиционные системы счисления
III. Римская система счисления
I – 1, V – 5, X – 10, L – 50,
C – 100, D – 500, M - 1000
444
400 + 40 + 4
(D – C)
(L – X)
(V – I)
CD
XL
IV

Непозиционные системы счисления
III. Римская система счисления
I – 1, V – 5, X – 10, L – 50,
C – 100, D – 500, M - 1000
Какие числа записаны с помощью римских цифр?
MMIV
= 2004
LXV
= 65
CMLXIV
= 964
Выполните действия:
MMMD + LX
= 3560

Непозиционные системы счисления
IV. Греческая система счисления
Γ
Δ
Η
Χ
Μ
- 5
- 10
- 100
- 1000
- 10 000
I, II, III, IIII - 1, 2, 3, 4
Δ Δ Δ I I I I
Какое число записано?
10+10+10 + 4
=
34
I
- 1

Непозиционные системы счисления
V. Алфавитные системы
- титло
Какое число записано в славянской системе счисления?
= 23
= 444

Непозиционные системы счисления
V. Алфавитные системы
1000 =
2000 =
3000 =
20 000 =
30 000 =
40 000 =

Непозиционные системы счисления
Каковы недостатки непозиционных систем счисления?
В записи больших чисел участвует большое количество цифр.
Неудобно выполнять арифметические действия.
Невозможно представлять отрицательные числа.

Позиционные системы счисления
Основные достоинства позиционной системы счисления:
Простота выполнения арифметических операций.
Ограниченное количество символов, необходимых для записи числа.

Разряд
Основание позиционной системы счисления
- это позиция цифры в числе
- это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления
Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде:
Aq =
(an-1qn-1+an-2qn-2+…a0q0+a-1q-1+a-2q-2+…a-mq-m)
- развернутая форма записи числа
Здесь:
A – само число
q – основание системы счисления
ai – цифры данной системы счисления
n – число разрядов целой части числа
m – число разрядов дробной части числа
Как будет выглядеть в развернутом виде число А10 = 4718,63 ?
А10 =
4 ·103
+ 7 · 102
+ 1 ·101
+ 8 ·100
+ 6 ·10-1
+ 3 ·10-2
Позиционные системы счисления
q = 10
n = 4
m = 2

Позиционные системы счисления
В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде:
Aq =
(an-1qn-1+an-2qn-2+…a0q0+a-1q-1+a-2q-2+…a-mq-m)
- развернутая форма записи числа
Здесь:
A – само число
q – основание системы счисления
ai – цифры данной системы счисления
n – число разрядов целой части числа
m – число разрядов дробной части числа
Как будет выглядеть в развернутом виде число А8 = 7764,1 ?
А8 =
7 · 83
+ 7 · 82
+ 6 · 81
+ 4 · 80
+ 1 · 8-1

Позиционные системы счисления
В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть представлено в виде:
Aq =
(an-1qn-1+an-2qn-2+…a0q0+a-1q-1+a-2q-2+…a-mq-m)
- развернутая форма записи числа
Здесь:
A – само число
q – основание системы счисления
ai – цифры данной системы счисления
n – число разрядов целой части числа
m – число разрядов дробной части числа
Как будет выглядеть в развернутом виде число А16 = 3AF ?
А16 =
3 · 162
+ 10 · 161
+ 15 · 160

Позиционные системы счисления
Свернутой формой записи числа называется запись в виде:
A =
an-1 an-2 … a1 a0 , a-1 a-m
Запишите в свернутой форме следующее число:
А10 = 9 ·101 + 1 · 100 + 5 · 10-1 + 3 · 10-2
А10 =
9
1
,
5
3
А16 = А ·161 + 1 · 160 + 7 · 16-1 + 5 · 16-2
А16 = А1, 75