Случайные величины

Случайные величины обозначаются греческими буквами:
ξ (кси), η (эта), θ (тета) и так далее,
а их возможные значения – латинскими буквами с индексами: xi, yi, zi.
Например, случайная величина
- «размер выигрыша в лотерее»
может иметь следующие возможные значения:
х1 = 0 руб.;
х2 = 10 руб.;
х3 = 100 руб.;
х4 = 1000 руб.

Случайные величины делятся на
дискретные;
непрерывные.
Случайную величину ξ называют дискретной, если множество ее возможных значений образует конечную последовательность чисел.
(например, случайная величина
ξ - «размер выигрыша в лотерее»)

Непрерывные случайные величины сплошь заполняют некоторый числовой интервал.
Например, время безотказной работы прибора теоретически [0; ,+∞)

Дискретные случайные величины задаются
рядом распределения,
а непрерывные – функцией распределения

Ряд распределения
Ряд распределения ставит в соответствие каждому возможному значению случайной величины хi соответствующую вероятность рi.
pi ≥ 0, i=1, 2, … =1

Пример 1
Рассмотрим случайную величину
ξ - «число гербов, выпавших при подбрасывании монеты три раза».
Она может принять четыре значения: 0,1,2,3.
P(A0)=1/8; P(A1)=1/8+1/8+1/8=3/8;
P(A2)= 1/8+1/8+1/8=3/8; P(A3)=1/8.
Построим ряд распределения случайной величины ξ

Функцией распределения F(х) СВ ξ называется функция действительного аргумента х, определенная на всей числовой оси и равная вероятности того, что СВ ξ примет значение меньше или равное х:
F (x)=P{ ξ ≤ x}.

Пример
Построить функцию распределения числа гербов при трех подбрасываниях монеты
Решение
-∞
0 ≤x<1: F(X)=P(ξ<1)= P(ξ=0)=1/8
1 ≤x<2 : F(X)=P(ξ<2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=1/8+3/8=4/8
2 ≤x<3: F(X)=P(ξ<3)= P(ξ=0)+ P(ξ=1)+ P(ξ=2)=
=1/8+3/8+3/8=7/8

1
F(x)
График функции распределения F(X)
0
1
2
3
х

Свойства функции распределения
1)
2) F(x)–неубывающая: если то F(x1) ≤ F(x2).
3)
4) Вероятность попадания СВ в интервал (a,b]:

Пример
СВ задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате эксперимента случайная величина попадет в интервал (1;3].

Самостоятельная работа
Задание. Случайная величина задана функцией распределения. Найти вероятность попадания в интервал (1;2].

Сверим ответы?
У нас a=1; b=2. Тогда

Плотность распределения вероятностей
Справедливо и обратное соотношение:

Свойства плотности распределения вероятностей
1) Для всех x плотность распределения вероятностей неотрицательна
2) Свойство нормировки
.
3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (a;b] равна

График y=f(x) называют кривой распределения
y=f(x)
a b
х

Пример
Случайная величина задана плотностью вероятности
Найти вероятность того, что в результате эксперимента случайная величина попадет в интервал (3;5].

Числовые характеристики СВ
Это числа, полученные по определенным правилам из законов распределения.
Наиболее часто используются:
Математическое ожидание;
Дисперсия;
Среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

Математическое ожидание СВ
Характеризует среднее значение СВ
Математическим ожиданием дискретной СВ ξ называется сумма произведений возможных значений xi на их вероятности pi
M(ξ) = x1 p1 +x2 p2 +… xn pn

M(ξ) = x1 p1 +x2 p2 +… xn pn
Пример
Найти математическое ожидание числа очков при одном подбрасывании игрального кубика.
Решение
1. Строим ряд распределения
2. Вычисляем математическое ожидание

Математическим ожиданием M(ξ) непрерывной случайной величины ξ с плотностью вероятности называется интеграл
,
Пример
Найти математическое ожидание СВ, заданной плотностью вероятности

Решение

Дисперсия случайной величины
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение определяют среднюю величину разброса значений СВ относительно математического ожидания
Дисперсией случайной величины ξ называется математическое ожидание квадрата СВ ξ - M(ξ):
D(ξ)=M[ξ- M(ξ)]2 или D(ξ)=M[ξ- M(ξ)]2
Среднеквадратическое отклонение:

Дисперсия непрерывной СВ определяется формулой
или
Для дискретной СВ дисперсия определяется по формуле
или

Пример
Найти дисперсию числа очков при одном подбрасывании кубика.
Решение
M(ξ)=3,5

Пример
Найти дисперсию случайной величины, заданной плотностью вероятности
Решение

Нормальный закон распределения СВ
Случайная величина ξ имеет нормальное распределение, если ее плотность распределения вероятностей при всех x задается равенством
Нормальное распределение используется для описания случайных явлений, в которых на результат измерения влияет большое число независимых случайных факторов.
Основные законы распределения СВ

Кривая вероятности распределения Гаусса (нормального распределения)
f(x)
x
m
m-3σ
m+3σ
fmax =
Затухание кривой происходит по правилу «трех сигм»

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с параметрами m=0, σ=1.
Плотность стандартного нормального распределения имеет вид
0
m
-3
3
x

Функцию распределения стандартного нормального закона
называют функцией Лапласа
Для функции распределения стандартного нормального закона имеются таблицы значений, которые широко используются в статистических исследованиях
Свойства нормального распределения

Пример
Случайная величина задана плотностью вероятности
Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2;3].

Пример
Случайная величина задана плотностью вероятности
Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2;3].

Пример
Случайная величина задана плотностью вероятности
Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2;3].

Пример
Случайная величина задана плотностью вероятности
Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2;3].
M(ξ)=1; σ(ξ)=4; D(ξ )= σ 2=16

a=-2; b=3

Случайная величина ξ распределена равномерно на промежутке [a,b], если ее плотность распределения вероятностей задается равенством
Равномерное распределение

f(x)
График f(х)
0
х
a
b

Функция распределения равномерного закона имеет вид:
График равномерной функции распределения

Вероятность того, что случайная величина η (число «успехов» при n независимых испытаниях) примет значение m, можно найти по формуле Бернулли
Биномиальное распределение
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины η равны
M(η)=n∙p; D(η)=n∙p∙q

Пример
В коробку сложили 3 изделия. Вероятность, что изделие - бракованное, равна 0,1.
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ - число бракованных изделий в коробке.
Решение
n=3; р=0,1; q=0,9
M(η)=n∙p; D(η)=n∙p∙q
M(η) =n∙p = 3∙0,1=0,3
D(η)=n∙p∙q = 3∙0,1∙0,9 = 0,27

если ее плотность распределения вероятностей задается равенством
Показательное распределение
Функция распределения показательного закона имеет вид: