Способы нахождения корней многочленов

Цели
Рассмотреть решение квадратных, кубических и биквадратных уравнений;
Делимость многочленов;
Деление многочленов с остатком;
Решение алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени;
Симметрические и возвратные уравнения;
формулы Виета, Горнера и Безу.
Применить полученные знания при решении задач группы С, а именно С5.

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ
ЕСЛИ:
D>0, то уравнение имеет два корня.
D=0, то уравнение имеет один корень.
D<0, то уравнение не имеет корней.
Уравнение вида ax2+bx+c=0 называется квадратным уравнением,
где x – переменная, а, b и с – некоторые числа,
причем, а≠0.
Чтобы найти корни квадратного уравнения вида: ax2+bx+c=0, нужно найти его дискриминант. Дискриминант находится по формуле: D=b2-4ac.

ТЕОРЕМА ВИЕТА
Если числа m и n таковы, что сумма равна р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x2+px+q=0.
Частные случаи при решении
квадратного уравнения

БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ
Уравнения вида x4+bx2+c=0 будем называть биквадратными уравнениями.
Первый способ:
Биквадратное уравнение можно заменой y=x2 свести к квадратному уравнению у2+by+c=0.
Второй способ.

СИММЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида
а0хn+ а1хn-1+…+ аkхn-k+…+ аkхk+…+ а1х+a0=0
Свойства
симметрического уравнения

Пример симметрического уравнения

ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения вида
а0х2n+1+ а1x2n+…+ аnхn+1+ аn+1хn+…+ а2nх+a2n+1=0
называют возвратными уравнениями нечетной степени, если
где λ- некоторое действительное число.
Уравнения вида
а0х2n+ а1x2n-1+…+ аn-1хn+1+ аnхn+…+ а2n-1х+a2n=0
называют возвратными уравнениями четной степени, если
Свойства возвратного уравнения

ПРИМЕР ВОЗВРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

ТЕОРЕМА I

ТЕОРЕМА II
Пример

ТЕОРЕМА III
Пример

СХЕМА ГОРНЕРА

Пример
ТЕОРЕМА БЕЗУ

ФОРМУЛЫ ВИЕТА

Решение алгебраических уравнений 3-й
степени с одним неизвестным

Решение алгебраических уравнений 4-й степени
с одним неизвестным

Пример:

y
D<0, a>0.
D<0, a<0.

D>0, a>0.
D>0, a<0.
D=0, a>0.
D=0, a<0.