Математические методы в экономике

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Основная литература
Красс М.С., Чупрынов Б.П. «Математика для экономистов», СПб., Питер, 2007
Дополнительная литература
Четыркин Е.М. «Финансовая математика», М., Дело, 2000

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
1. Анализ рисков
Рассматриваемые вопросы:
Выбор с помощью дерева решений Мера риска
Основы портфельного анализа
Выбор оптимального портфеля

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
1.1. Выбор с помощью дерева решений
Основные понятия методов анализа риска
Любая сфера человеческой деятельности, в особенности, экономика и бизнес, связаны с принятием решений в условиях неполноты информации.
Многие ситуации требуют принятия решения в результате анализа последовательности возможных решений в рыночной обстановке, когда одна совокупность решений лица, принимающего решения (ЛПР), и состояний рынка порождает другое состояние аналогичного типа. В момент такого перехода требуется принятие решения с оценкой возможных последствий.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Игры, в которых задается последовательность принятия решений игроками, называются позиционными играми.
Число игроков в позиционной игре может варьироваться от двух и более.
Игрок принимает свое решение, уже зная о решении партнера (соперника), т. е. в ответ на его решение.
Примеры позиционных игр двух игроков: шахматы, шашки.
Позиционные игры моделируют поведение фирм в условиях рынка. Потому этот класс игр широко используется в экономике.
Позиционные игры

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Позиционную игру наглядно представляет дерево решений (в общем случае — граф решений), приводящее игроков из исходной позиции в конечные.
Дерево решений – это метод, применяемый при многоходовом процессе анализа и осуществления управленческих решений. Ветви дерева изображают события, которые могут иметь место, а узлы и вершины - момент выбора направления действий.
Вершины дерева игры называются позициями.
Позиции, непосредственно следующие за некоторой позицией, называются альтернативами; позиции, не имеющие альтернатив, называются окончательными, а ведущие в них пути — партиями.
Часть дерева решений, описывающая игру из некоторой позиции (которая может считаться начальной), называют подыгрой.
Дерево решений

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
На рынке доминирует производитель — фирма 1, и монопольное положение приносит ей прибыль 10 млрд у.е.
Фирма 2 решает вопрос о внедрении на этот рынок при следующих известных предпосылках.
В случае вступления фирмы 2 на рынок фирма 1 может отреагировать двояко: а) снизить объем своего производства и тогда поделить с фирмой 2 свою прибыль по 5 млрд на каждого конкурента; б) не уступать в объеме производства — тогда прибыль фирмы 1 понизится до 3 млрд вследствие снижения рыночной цены, а фирма 2 понесет убытки в размере 2 млрд тоже из-за падения рыночной цены на товар, а также из-за того, что предварительные затраты на проработку рынка и организацию производства не будут компенсированы.
Если же фирма 2 воздерживается от вступления на рынок, то ее прибыль будет нулевой; в этом случае за фирмой 1 остаются два варианта поведения: не снижать объем производства с прибылью 10 млрд и снизить объем производства со снижением прибыли до 8 млрд у.е.
Пример позиционной игры

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Дерево решений для игры двух партнеров

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
1. Формулировка задачи. Состоит в формализации экономического объекта и выбора основных определяющих факторов. Включает в себя сбор информации, составление перечня возможных событий, которые могут произойти с определенными вероятностями, установление порядка следования событий с информацией об их исходах, установление последовательности возможных действий.
2. Оценка вероятности исхода каждого события.
3. Установление выигрышей и проигрышей для каждой возможной комбинации действий.
4. Построение дерева решений.
5. Проведение расчетов и принятие решения как движение от вершины дерева решения к его корням с анализом вариантов.
Этапы процесса принятия решения

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Пример проведения процедуры принятия решения
Администрация компании решает вопрос об инвестировании. Можно инвестировать средства в проект А, в проект Б или в действующий торговый комплекс (проект В). С вероятностями 0.5 инвестиции в проекты А и Б могут принести выигрыши S1 и S2:
Инвестирование торгового комплекса (проект В) принесет гарантированную прибыль 25 000 у.е. Найти оптимальное решение.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Пример проведения процедуры принятия решения (продолжение)
Этапы 1-3 выполнены.
Этап 4. Построение дерева решений

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Пример проведения процедуры принятия решения (окончание)
Этап 5. Проведение расчетов
Ожидаемая прибыль – это математическое ожидание случайной величины
ВЫВОД: Если в качестве критерия выбора решения выбрать величину ожидаемой прибыли, то следует выбрать проект Б.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Принятие решения при уточнении исходных данных
Администрация компании решила потратить 10 000 у.е. на уточнение информации (экспертиза, прогноз, конфиденциальные источники). Уточненная информацию заключается в следующем: вероятность благоприятного развития ситуации равна 0.55, вероятность неблагоприятного развития равна 0.45. Вероятности выигрышей для проектов А и Б составят в случае благоприятного развития (р1=0.8, р2=0.2) и в случае неблагоприятного развития – (р1=0.3, р2=0.7). Найти оптимальное решение в этом случае.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Уточнение принятия решения (продолжение)
Этап 4. Построение дерева решений

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Уточнение принятия решения (окончание)
Благоприятный прогноз
Неблагоприятный прогноз
ВЫВОД: Если администрация склоняется к тому, что ситуация будет благоприятной, то следует выбрать Проект А (156.0 тыс. руб.), если же предполагается неблагоприятная ситуация, то следует выбрать Проект В (гарантированная прибыль 15.0 тыс. руб.).
Общая ожидаемая прибыль

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Риск – это угроза потери действующим финансовым лицом части своих ресурсов, либо появления дополнительных расходов в результате осуществления определенной финансовой политики.
Виды рассматриваемых рисков:
риски, связанные с конкуренцией;
риски, связанные с принятием финансовых решений;
инвестиционные риски, связанные с возможным обесцениванием портфеля ценных бумаг.
Мера риска финансового решения – это среднее квадратическое отклонение σ основного показателя этого решения.
1.2. Мера риска

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Замечание 1: На практике для оценки риска используется безразмерная величина риска
Замечание 2: При одинаковых или сравнимых по величине математических ожиданиях выигрыша выбирают то решение, при котором среднее квадратическое отклонение меньше.
Примечание. Для любого предпринимателя, в том числе и ЛПР, крайне нежелательна ситуация с резкими изменениями этих показателей от их среднего уровня, что означает угрозу утери контроля. Чем меньше стандартное отклонение от среднего значения, тем больше стабильность рыночной обстановки.
Замечание 3: Чем меньше среднее квадратическое отклонение от среднего значения, тем больше стабильность рыночной обстановки.
Оценка риска

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Пример оценки риска
Фирма производит продукцию с ограниченным сроком годности. Поставка ее производится контейнерами. Затраты на производство и транспортировку продукции в одном контейнере составляет 25.0 тыс. у.е. Фирма продает каждый контейнер за 55.0 тыс. у.е. Если в течение срока годности продукция не продается, то она портится и фирма не получает дохода. Вероятности спроса на продукцию в течение срока годности для различного количества контейнеров представлены в таблице.
Найти оптимальное количество контейнеров, которое нужно производить в течение срока годности.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Пример оценки риска (решение)
Прибыль от каждого проданного контейнера 55.0-25.0=30.0 у.е.
Убыток от непроданного контейнера 25.0 тыс. у.е.
Среднее значение ожидаемой прибыли
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Прибыль для всех случаев продаж (окончание)
ВЫВОД: Оптимальный выбор состоит в производстве 6 контейнеров продукции: средняя ожидаемая прибыль составит 174.0 тыс. у.е. при стандартном отклонении 9.5%. Если производство увеличить до 7 контейнеров, то прибыль увеличится незначительно (до 177.0 тыс. у.е.), зато риск возрастает более чем в 2 раза (до 20.5%).

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
1.3. Основы портфельного анализа
Поскольку ценные бумаги различаются по доходности и надежности, то инвесторы вкладывают средства в приобретение ценных бумаг нескольких видов (формируют инвестиционный портфель), стремясь достичь наилучшего соотношения «риск – доходность».
Гарри МАРКОВИЦ
(р. 1927)

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Линии безразличия
Функция полезности – это функция, зависящая от ожидаемой доходности rp инвестиционного портфеля и среднего квадратического отклонения σp (меры риска)
Замечание: Все инвестиционные портфели, лежащие на одной линии безразличия (линии уровня)
являются равноценными с точки зрения инвестора.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Критерий выбора портфеля
ВЫВОД: Любой портфель, лежащий на линии безразличия выше и левее, является более привлекательным, чем портфель, лежащий на линии безразличия, которая ниже и правее.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Ожидаемая доходность портфеля
хi – доля начальной стоимости портфеля, инвестированная в i-тый вид ценных бумаг;
ri – ожидаемая доходность i-того вида ценных бумаг;
n – количество видов ценных бумаг в портфеле.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Дисперсия доходности портфеля
Среднее квадратическое отклонение доходности портфеля

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Пример расчета доходности и риска портфеля
Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности портфеля, состоящего из 30% акций компании А и 70% акций компании В, если их доходности некоррелированы и составляют соответственно 25% и 10%, а их стандартные отклонения равны 10% и 5%.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Диверсификация инвестиционного портфеля
Свойство инвестиционного портфеля ценных бумаг обладать меньшим риском, чем некоторые его отдельные составляющие, называется диверсификацией.
ВЫВОД: Увеличение количества ценных бумаг при одновременном сокращении их долей в общей ожидаемой доходности уменьшает риск инвестиционного портфеля.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Пример диверсификации
Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности портфеля, состоящего из 10 видов ценных бумаг с некоррелироваными доходностями. Доли ценных бумаг xi, их доходности ri и стандартные отклонения σi приведены в таблице.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Решение примера
Ожидаемая доходность
Дисперсия доходности
Стандартное отклонение
ВЫВОД: Крупные инвестиции позволяют приобретать более диверсифицированные портфели. Тем самым инвестиционный риск в значительной степени снижается.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
1.4. Выбор оптимального портфеля
Достижимое множество инвестиционных портфелей – это совокупность всех портфелей, которые можно составить из n видов ценных бумаг.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Инвестор выбирает оптимальный портфель из такого множества портфеля, каждый из которых:
максимизирует ожидаемую доходность для некоторого заданного уровня риска;
минимизирует риск для некоторого уровня ожидаемой доходности.
Теорема об эффективном множестве инвестиционных портфелей
ВЫВОД: Инвестор выбирает портфели, на верхней и левой границе достижимого множества портфелей. Эффективное множество портфелей представляет собой участок АВ.

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Выбор оптимального портфеля заключается в совмещении линии безразличия инвестора с эффективным множеством портфелей.
Выбор оптимального портфеля

(С) Веденяпин Е.Н. 2012
Замечание: Выбор оптимального портфеля существенно зависит от формы линий безразличия, которая зависит от функции полезности, в свою очередь являющейся характеристикой стратегии инвестора.
Зависимость формы линий безразличия от выбора стратегии инвестора
Функция полезности Неймана-Моргенштейна
У осторожного инвестора, тяготеющего к уменьшению риска за счет снижения доходности линии безразличия менее выпуклы.
Повышение риска для инвестора для получения более высокого уровня доходности выражается в том, что линии безразличия более выпуклы.