Сумма n-первых членов арифметической прогрессии

Цель урока:
Вывести формулу суммы n-членов арифметической прогрессии, выработать навыки непосредственного применения данной формулы.

Задачи урока:
Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии.
Воспитательная: воспитывать интерес к истории математики.
Развивающая: развивать любознательность и вычислительные навыки.

Арифметический диктант:
У арифметической прогрессии первый член 4 (6), второй 6 (4). Найти разность d.
У арифметической прогрессии первый член 6 (4), второй 2 (6). Найти третий член.
Найти десятый (восьмой) член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность d равна 4 (5).
Является ли последовательность четных (нечетных) чисел арифметической прогрессией?
(аn) – арифметическая прогрессия. Выразите через а1 и d а10; а100; аn; аn+ 1 (а20; а200; а2n; а2n+2).
Определение арифметической прогрессии. Понятие разности арифметической прогрессии. Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Проверь себя!
1 вариант: (1) d = 2; (2) а3 = - 2; (3) 37; (4) Да; (5) а10 = а1 + 9d; а100 = а1 + 99d; аn = а1 + d (n – 1); аn + 1 = a1 + nd.
2 вариант (1) d = - 2; (2) а3 = 8; (3) а8=36; (4) Да; (5) а20 = а1 + 19d; а200 = а1 + 199d; а2n = а1+ d(2n- 1).
(6) Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Разность между любым ее членом, начиная со второго и предыдущим членом равна разности арифметической прогрессии.

Из истории математики:
С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855).

Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1 + 2 + 3 + … +40. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…»
Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное.

Как Гауссу удалось так быстро сосчитать сумму такого большого количества чисел?

Попытаемся найти ответ на данный вопрос.

Вот схема рассуждений Гаусса.
Сумма чисел в каждой паре 41. Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна
41×20 = 820.
Попытаемся понять как ему это удалось. Выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

аn) – арифметическая прогрессия.
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an-1 + an,
Sn = an + an-1 +an-2 + an-3 + … =a2 + a1
a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an,
a3 + an-2 = (a2 + d) + (an-1 – d) = a2 + an-1 = a1 + an,
a4 + an-3 = (a3 + d) + (an-2 – d) = a3 + an-2 = a1 + an и т.д.
2Sn = (a1 + an)n.
Sn = (a1 + an)n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.
Sn = (a1 + an)n : 2 , an = a1 + d(n – 1)
Sn = (a1 + a1 + d(n-1))n : 2 = (2a1 + d(n – 1))n : 2
Sn = (2a1 + d(n – 1))n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

А теперь подобно Гауссу решим задачу о нахождении суммы натуральных чисел от 1 до 40.

Тренировочные упражнения:
1. (an) – арифметическая прогрессия.
a1 = 6, a5 = 26. Найти S5.

Решение:
Sn = (а1+а5) : 2 × 5
Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифметической прогрессии: S5 = (6+26) : 2 × 5=80.
Ответ: 80.

2. (an) – арифметическая прогрессия.
a1 = 12, d = - 3. Найти S16.

Решение:
S16 = (а1+а16):2×16
Заметим, что в данной прогрессии не задан последний член этой суммы. Найдем 16 член прогрессии:
а16 = 12+ 15×(-3) =12+(-45) =-33
Теперь вычислим сумму: S16 = (12+ (-33)) ×16: 2 = (-21) ×8 = -168. Ответ: -168.
При решении таких задач можно воспользоваться второй формулой
S16 =(2а1 +d( n -1)):2×16 =(2×12+15×(-3)):2×16 =-21:2×16 = -168. Ответ: - 168.

Работа по учебнику.

В заключение вспомним строки А. С. Пушкина из романа «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя самых честных правил…), то есть ударными являются 2-й, 4-й, 6-й, 8-й и т. д. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8, … Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. (Буря мглою небо кроет…) Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1, 3, 5, 7, … .