Свойства четырёхугольников. Решение задач.

Цели урока:
Повторить, обобщить и систематизировать знания обучающихся по данной теме.
Сформировать навык применения изученных свойств при решении задач.

Параллелограмм
Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
АВ ІІ DC, АD ІІ BC
А
D
С
В

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны
AB = DC, BC = AD
B
A
D
C

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
AO = OC, BO = OD
A
D
C
B
O

А
D
С
В
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°
<А + <В = 180 °

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника
∆ABC = ∆ADC
A
D
C
B

РОМБ
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны
AB=BC=CD=AD
A
D
C
B

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам
AC ┴ BD, =
A
D
C
B

ПРЯМОУГОЛЬНИК
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые =
А
D
C
B

Диагонали прямоугольника равны
AC = BD
А
D
C
B

Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны
AB = BC = CD = AD
А
D
С
В

Трапеция
D
С
В
А
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны
АВ ІІ DC, АВ, DC – основания, DА, ВС – боковые стороны.

А
D
С
В
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
АВ = СD
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной
<А =90°
А
В
С
D

1
2
3
4
5

ТЕСТИРОВАНИЕ
1. Если диагонали у параллелограмма равны, то он может быть:
а)квадратом, б)квадратом или прямоугольником,
в)прямоугольником, г)любым четырехугольником.
2. Если у параллелограмма диагонали пересекаются под прямым
углом, то он может быть:
а)ромбом, б)ромбом или квадратом, в)любым прямоугольником.
3. Чему равна сумма углов параллелограмма:
А)180°, б)90°, в)360°, г)720°.
4. Если одна сторона параллелограмма равна 10 см, а другая –
20 см, то периметр его равен:
а)10 см, б)20 см, в)30 см, г)60 см, д)120 см.

5. Если стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см, то какие это стороны:
а) соседние, б)противоположные, в)любые.
6. Если один угол параллелограмма равен 42°, то чему равны другие его углы:
А)42° и 82°, б)42°, 84°, 54°, в)42°, 138°, 138°, г) 84°, 138°.
7. Сумма двух углов параллелограмма равна 100°. Какие это углы:
а)соседние, б)противоположные, в)любые.
8. Если диагональ параллелограмма образует с его сторонами
углы 30° и 40° , то углы параллелограмма равны:
а)60°, 80°,б)70°,10°, в)70°, 110°
9. Если одна диагональ ромба равна его стороне, то чему будут
равны углы ромба:
а)60°, б)90°, в)60°, 120°.

Проверка
б)квадратом или прямоугольником.
б)ромбом или квадратом.
в)360°.
г)60 см.
а) соседние.
6. в)42°, 138°, 138°.
7. б)противоположные.
8. в)70°, 110°.
9. в)60°, 120°.

Решение задач
Задача 1.
Меньшая сторона прямоугольника равна 4 см и образует с диагональю угол в 60°.Найдите диагонали прямоугольника.
Задача 2.
Сумма трёх углов параллелограмма равна 252°. Найдите углы
параллелограмма.
Задача 3.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как
4:5. Вычислите углы ромба.
Задача 4.
Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8 см.
Острый угол равен 30°. Найти другую боковую сторону трапеции.
Задача 5.
Дан квадрат, сторона которого равна 1м. Диагональ его служит
стороной другого квадрата. Найдите диагональ последнего.

Дано:
ABCD - прямоугольник,
АВ = 4см, <ВАС = 60°
Найти:
АС, BD
Решение: ∆ABO – равнобедренный,
<АВО = <ВАО,
<ВОА = 180° - <АВО - <ВАО,
<ВОА = 180° - 60° – 60° =60°
∆ABO – равносторонний,
АВ=ВО=АО=4см,
ВD = 2ВО = 8см, АС = 2АО = 8 см.
Ответ: ВD = 8см, АС = 8 см
А
D
С
В
4 СМ
60°
О
№ 1.

Дано:
ABCD – параллелограмм,
<А + <В + <С = 252°.
Найти:
<А, <В, <С,
Решение:
<А + <В + <С +
<А + <В = 180° <А = 180° - <В = 180° - 108° = 72°.
<А = 72°.
<А =
Ответ: 108°, 108°, 72°, 72°.
А
D
С
В
№ 2.

Дано:
ABCD- ромб,
<1 : <2 = 4:5,
Найти:
<А, <В, <С,
Решение:
По свойству ромба <АОD = 90°, следовательно <1 + <2 =90°.
На 90° приходится 9 частей. 1 часть составляет 10°, 4 части – 40°,
5 частей - 50°.
<А = 2*40 = 80°,
<В =
Ответ: <А = <С =80°, <В =
А
D
С
В
1
2
О
№ 3.

Дано:
АВСD –трапеция,
<А = 90°, АВ = 8 см,
Найти:
CD
Решение:
построим СК ┴ АD, СК = АВ = 8см
∆СDК – прямоугольный,
По свойству прямоугольного треугольника:
СК = ½ СD, СD = 2*8 =16 (см)
Ответ: СD = 18 см.
№ 4.
А
В
С
D
30°
8 см
К

А
В
С
D
М
N
№ 5.

№ 407 (геометрия 7-9 кл. Атанасян и др.)
Острый угол ромба равен 30°. Найти высоту ромба, если
его периметр равен 16 см.
Длины оснований прямоугольной трапеции равны
10 и 6 см. Больший угол равен 120°. Найти большую
боковую сторону трапеции.
Домашнее задание

Библиография