Свойства функции у=sinх и её график Пикалова Тамара Павловна Учитель математики г.Старый Оскол 2011

Основные свойства функции у =sinх:
Область определения- множество всех действительных чисел;
Область значения- отрезок [-1;1], значит, sin- функция ограниченная;
Функция нечётная: sin(-x)= -sinx для всех х из множества R;
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2∏, то есть sin(x+2∏)=sinx для всех х из множеcтва R;

sinx= 0 при х=∏n, n є Z;
sinx > 0 для всех х є (2∏n; ∏+2∏n),n є Z;
sinx < 0 для всех х є (∏+2∏n; 2 ∏+2∏n),n є Z;

Функция возрастает от -1 до 1 на промежутках [-∏/2 + 2∏n; ∏/2 + 2∏n], n є Z; Функция убывает от 1 до -1 на промежутках [∏/2 + 2∏n; 3∏/2 + 2∏n], n є Z; Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках х= ∏/2 + 2∏n, n є Z; Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках х= 3∏/2 + 2∏n, n є Z;

График cинуса на промежутке [-∏;∏]

График синуса на всей области определения

Построить график функции y=sin 1/2x
D (y)= R;
E (y)= [-1;1];
Функция нечётная;
Функция периодическая, так как
sin1/2 x= sin (1/2x+ 2∏)= sin( (x+4∏)/2), Т=4∏. Достаточно построить график на отрезке
[0; 2∏];

Найдём точки пересечения графика с осью ОХ. Если y=0, то sin1/2 x=0, х/2=∏n, х=2∏n, n=0;1.
(0;0) и (2∏;0)- точки пересечения графика с осью ОХ на данном полупериоде;
Максимум функции равен 1 при х/2= ∏/2, то есть при х= ∏.
По этим данным строим график y=sin 1/2x.

График функции y=sin1/2x

Второй способ построения графика функции y=sin 1/2x
Период исходной функции y=sinx равен 2∏, а период заданной функции y=sin 1/2x составляет 4∏, то есть, вдвое больше периода исходной функции.
Таким образом, график функции y=sin 1/2x можно построить путём растяжения графика функции y=sinx вдоль оси ОХ вдвое.

График функции y=sin 1/2x

Построить график функции y=sin3x
D(y)=R;
E(Y)=[-1;1];
Период функции:
Sin3x= sin (3x + 2∏) = sin3(x+2∏/3);
T=2∏/3, T/2=∏/3.
Точки пересечения графика с осью ОХ:
Sin3x=0, 3x=∏n, x= ∏n/3, n=0;1, то есть на данном полупериоде кривая пересекает ось ОХ в точках (0;0) и (∏/3;0);
Максимум функции равен 1 при 3х= ∏/2, то есть х= ∏/6.
По этим данным строим график функции у=sin3x

График функции y=sin3x

Второй способ построения графика функции у= sin3x
График функции у=sin3x можно построить путём сжатия по оси ОХ исходного графика y=sinx в три раза, так как период 2∏/3 заданной функции в три раза меньше периода 2∏ исходной функции

График функции у =sin3x

Построить график функции y=3sinx
Ординаты графика y=3sinx в три раза больше соответствующих ординат графика y=sinx.
Поэтому график функции у=3sinx строится путём увеличения всех ординат графика у=sinx по оси ОУ в три раза.

Построить график функции у=1/2sinx
По тем же соображениям этот график строится способом уменьшения всех ординат исходного графика в два раза, то есть путём сжатия исходного графика по оси ОУ в два раза.

Графики у=3sinx и y=1/2sinx

Построить график функции у=1,5-2sin(3x+∏/4)
Y= -2sin(3x+∏/4)
Y= -2sin(3(x+∏/12))+1,5
Порядок построения графика следующий:
строим график функции y=-sinx;
этот график сжимаем по оси абсцисс в три раза;
ось ординат переносим по горизонтали на ∏/12;
график растягиваем по оси ординат в два раза;
ось абсцисс переносим по вертикали на -1,5.

График функции у=1,5-2sin(3x+∏/4)

Упражнения для самостоятельной работы
Первый вариант
Построить графики функций:
1. y=sin2x;
2. y= 1-2sin2x;
y= 2sinxlcosxl;
Y=tgxcosx;
5. Сколько корней имеет уравнение sin2x=a ?
Второй вариант
Построить графики функций:
У=-sin2x;
Y=1+2sin2x;
У=2cosxlsinxl;
Y=tgxctgx;
Сколько корней имеет уравнение -sin2x=b ?