Свойства логарифмов

Цели
Изучить свойства логарифмов
Вырабатывать умения и навыки преобразования логарифмических выражений

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Повторим
Определение логарифма

Повторим

Свойства логарифмов
Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел
Доказательство
Обозначим:
Ч.т.д

Например

Свойства логарифмов
Теорема 2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
Доказательство
Обозначим:
Ч.т.д

Например

Свойства логарифмов
Теорема 3. Если а и b – положительные числа, причём а ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство
Доказательство
Обозначим:
Ч.т.д

Например
Краткая формулировка: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

?
Верно ли равенство?
Нет, т.к. при х<0 левая часть равенства определена, а правая не определена.

Свойства логарифмов
Теорема 4. Равенство
где а>0, а ≠ 1, t>0, s>0, справедливо тогда и только тогда, когда s = t.
Это является достаточно очевидным следствием монотонности логарифмической функции.

Примеры применения свойств.
Пример 1.
Решение.

Примеры применения свойств.
Пример 2.
Решение.