Тема: Векторное и смешанное произведение векторов

Французский юрист и математик
1601-1665
ПЬЕР ФЕРМА

Немецкий
физик и математик
1777-1855
К. Ф. ГАУСС

Великий
русский математик
(1792-1856)
Н.И. ЛОБАЧЕВСКИЙ

скалярные
длина
масса
температура
плотность
и т.д.
векторные
перемещение
скорость
сила
ускорение
и т.д.
Т и п ы в е л и ч и н

Векторная величина определяется числовым значением и направлением
Геометрической абстракцией векторной величины есть вектор – направленный отрезок прямой.
Чтобы задать вектор необходимо указать
направление
длину

Действия с векторами
Сложение векторов
Определение: Суммой векторов называется вектор, замыкающий ломаную, построенную из данных векторов таким образом, что конец предыдущего вектора является началом последующего

Пусть на плоскости задана прямоугольная (декартова) система координат
Пусть точка А имеет координаты (х1,у1),
х1
х2
у1
у2
А
(х1,у1)
а точка В имеет координаты (х2,у2)
тогда вектор
х
у
(х2,у2)
В
имеет координаты
а его длина вычисляется по формуле

Скалярное произведение векторов
Из скалярного произведения находят угол между векторами
Если вектора заданы своими координатами
тогда
=(х1,у1,z1)
=(х2,у2,z2)

Работа А силы , произведенная этой силой при перемещении тела на пути , определяемом вектором , вычисляется по формуле
Скалярное произведение векторов в теоретической механике

Три вектора а,b,c, будем называть упорядоченной тройкой, если указан порядок следования
правая
левая

Определение. Вектор c называется векторным произведением векторов а и b, если:
|c| = |a| |b| sinφ,
тройка векторов abc правая.
Теорема. /геометрический смысл векторного произведения/
Длина векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b.
где φ – угол между а и b.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ
Пусть вектора заданы своими координатами
тогда координаты векторного произведения вычисляются по формуле

С помощью векторного произведения можно вычислить вращающий момент М силы F, приложенной к точке В тела, закрепленного в точке А:
Векторное произведение векторов в теоретической механике

Смешанное произведение векторов
Определение
Пусть даны три вектора a, b, c. Если вектор a векторно умножить на вектор b, а затем получившийся при этом вектор скалярно умножить на вектор с, то в результате получается которое называется смешанным произведением векторов a, b, c
число,
Обозначение

Теорема (геометрический смысл смешанного произведения)
Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c
Если три вектора лежат в одной плоскости, то их смешанное произведение равно нулю
Замечание

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ
Если три вектора определены своими декартовыми координатами
то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов

ЗАДАЧА № 1
Даны координаты вершин пирамиды
Методами векторной алгебры определить
Угол между ребрами А1А2 и А1А4
Площадь грани А1А2А3
Объем пирамиды