ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности, присущие массовым случайным явлениям.
Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений.
Цель – осуществление прогноза в области случайных явлений.
Возникновение – середина XVII века

МАТЕМАТИКИ, СЫГРАВШИЕ ВЫДАЮЩУЮСЯ РОЛЬ В РАЗВИТИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Б. Паскаль (1623-1662); П. Ферма (1601- 1665)
Х. Гюйгенс (1629-1695); Я. Бернулли (1654-1705)
А. Муавр (1667-1754); П.Лаплас (1749-1827)
К. Гаусс (1777-1855); С. Пуассон (1781-1840)
В.Я. Буняковский (1821-1894);
П.Л. Чебышев (1821-1894); А.М. Ляпунов (1857-1918);
А. Марков (1856-1918); Е. Слуцкий (1880-1948);
А. Хинчин (1894-1959); А. Колмогоров (1903-1987)
Б. Гнеденко (1912-1995) и другие.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Опыт или испытание - совокупность условий, при которых данное событие может произойти.
Пример: нагревание воды до 100 градусов, подбрасывание монеты или игральной кости, извлечение шара из урны с шарами и т.д.
События могут быть:
а) случайное – может произойти, а может и не произойти;
б) достоверное – произойдёт обязательно при данном испытании;
в) невозможное - никогда не произойдёт при данном испытании.
Пример: «выпало число 6 на игральной кости» - случайное событие; «извлекли белый шар из урны с белыми шарами»-достоверное событие; «извлекли белый шар из урны с синими шарами» - невозможное событие.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Совместные события могут произойти вместе при одном испытании, несовместные – не могут произойти вместе. Пример: события А = «попал по мишени 1-й стрелок» и В = «попал по мишени 2-й стрелок» при одновременной стрельбе двух стрелков – совместные события; а события Е = «выпало 5 очков» и М= «выпало 6 очков» при одном подбрасывании игральной кости – несовместное событие.
Равновозможные события – события, для которых нет оснований полагать, что одно из них более возможно, чем другое.
Пример: события «на игральной кости выпало число 6» и «на игральной кости выпало число 1» - равновозможные события (исходя из предположения о симметричности кости).

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Элементарное событие – нельзя представить в виде суммы двух или нескольких событий.
Пример: D= «на игральной кости выпало 3 очка» - элементарное событие; F= «на игральной кости выпало более 3-х очков» можно представить в виде суммы трёх событий: «выпало 4 очка», «выпало 5 очков», «выпало 6 очков» - F не является элементарным событием.
. Событие А благоприятно событию В, если всегда, когда произойдёт А, произойдёт В.
Пример: событие «выпало 6 очков на игральной кости» благоприятно событию «выпало чётное число очков».

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Полная группа событий – совокупность несовместных событий, которые могут произойти при данном испытании (обязательно произойдёт только одно из этих событий).
Пример: если на заочном отделении факультета учатся студены только из трёх городов, то события А= «контрольная работа пришла из 1-го города», В=«контрольная работа пришла из 2-го города», С =«контрольная работа пришла из 3-го города» образуют полную группу.
Противоположные события - несовместные события, такие, что если одно из них не произошло, то обязательно произойдёт другое.
образуют полную группу событий.
Пример: А = «хотя бы один спортсмен команды занял призовое место», тогда = «ни один спортсмен команды не занял призовое место».

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ
Классическое определение вероятности события
где - классическая вероятность события А, n – число равновозможных, элементарных, несовместных событий (исходов), которые могут произойти при данном испытании;
m – число событий, благоприятных событию А (из n)

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЙ
Статистическое определение вероятности события.
Пусть производится n одинаковых независимых испытаний, событие А появилось в них m раз.
Тогда отношение - частота события А.
При увеличении количества испытаний n ,
стремится к числу p,
где p – статистическая вероятность события А

ДЕЙСТВИЯ НАД СОБЫТИЯМИ
Сумма двух или нескольких событий- это событие, которое заключается в появлении хотя бы одного из этих событий.
Пример. Суммой событий А= «на игральной кости выпало меньше 3 очков» и В= «на игральной кости выпало 2 или 3 очка» будет событие «на игральной кости выпало меньше 4 очков»
Произведение двух или нескольких событий- это событие, которое заключается в появлении всех данных событий вместе.
Пример. Призведением событий А= «на игральной кости выпало меньше 3 очков» и В= «на игральной кости выпало 2 или 3 очка» будет событие «на игральной кости выпало 2 очка»

ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ СОБЫТИЙ
Т1.1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.
Т1.2. Если А и В – несовместные, то
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
Следствие 1 Пусть события А1,А2,…Аn образуют полную группу, тогда…
Следствие 2.
Если - противоположные события, то

ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ
Т2.1. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое уже произошло.
Для нескольких попарно зависимых событий А1,А2,…Аn
Т2.2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ФОРМУЛА БАЙЕСА
Пусть событие А может произойти только с одним из несовместных событий H1,H2,...Hn. Тогда вероятность события А находится по формуле:
Пусть событие А уже произошло, тогда вероятность того, что появилось событие Нi, где i=1,2,3,…n, равна…
где P(A) можно найти по формуле полной вероятности