Thermodynamic properties of small particles in external magnetic field

One-dimensional infinite potential well
The wave-function of the quantum particles is a standing wave, and the energy levels are quantized:
A more realistic potential well
The Hamiltonian of a quantum particle in an external
potential V(x) in 1D

Статистика энергетических уровней тяжелых ядер
Вигнер, Дайсон, Мета, Година (Gaudin) (1960-65)
и изолировнных металлических гранул
(Горьков, Элиашберг (1965))
Ансамбль случайных гамильтоновых матриц: гипотеза о
геометрических корреляциях, теорема Портера
Переходы между ансамблями разной симметрии в магнитном поле
«Броуновское движение» энергетических уровней
Универсальность корреляций в ансамблях случайных матриц и
универсальность флуктуаций проводимости в неупорядоченных
проводниках (Альтшулер, Шкловский, Имри (1986г))
Квантовые точки (Альтшулер, Ли, Вебб, Бейнаккер, ван Хутен
(1991))

Вигнер и Дайсон исследовали ансамбль из случайных эрмитовых
матриц размерности распределенных по закону:
где с – нормировочная константа. Если ,
то ансамбль называется гауссовым.
Следствие 1:
то есть матричные элементы распределены независимо !
Следствие 2: в пределе распределение уровней энергии
не зависит от вида функции -это называется универсальностью
спектральных корреляций (соблюдается вдали от границ спектра
) . Уровни энергии - это собственные значения
матрицы и находятся из уравнения

Важный вопрос: возможно ли отделить распределение N уровней энергии Ei от распределения остальных (NxN – N) случайных величин, характеризующих матричные элементы гамильтоновой матрицы H размерности NxN ?
Ответ (теорема Портера, 1960): Возможно!
Начнем объяснение поэтапно:
Существует унитарное преобразование с матрицей U = (A1A2...AN) из N собственных векторов матрицы H : HAn=EnAn , диагонализующее гамильтонову матрицу системы H:
2. Преход к новому базису не влияет на функцию распределния, однако,
указывает, что вероятность случайной матрицы H зависит лишь от ее
спектра, а остальные (NxN – N) случайных величин распределены однородно:

Следовательно, для перехода к распределению по энергетическим уровням
от распределения по матричным элементам необходим якобиан перехода J,
который связывает объемы в пространстве матричных элементов dHij с
объемами в пространстве собственных векторов dUn, впервые найденный
Портером (теорема Портера, 1960):
Видно, что распределение по уровням энергии можно интерпретировать
как распределение Гиббса, где параметр β играет роль обратной
температуры ~1/κBΤ, а u(Ei-Ej) – «потенциал взаимодействия частиц» с
«координатами» Ei,Ej, наконец V(Ek)- «потенциал» действующий на каждую
«частицу». При этом, из теоремы Портера следует что u(Ei-Ej)=log|Ei-Ej| , т.е.
имеет вид кулоновского отталкивания между N «заряженными стержнями»
на линии вдоль оси E, расположенных в точках с координатами Ei, Ej. Такие
корреляции между случайными уровнями энергии Ei называются геометрическими.

The Wigner’s Ansatz for the Gaussian ensemble of random NxN Hermitian matrices H :
In the limit
the spectral correlations become universal with β the symmetry index
counts number of degrees of freedom of the Hamiltonian matrix
element, the possible values are: 1, 2 and 4.
So far, gaussian P(H) gives distribution of the matrix elements
as the independent random variables. The transition from P(H) to
eigenvalues distribution P(En) is due to Porter (1960):
Step 1
Step 2
matrix space “volume”
eigenvectors U

Step 3
Step 4
Step 5
where levels distribution function is:
Equivalent form for the distribution function:
Conclusion: Wigner-Dyson’s Gaussian ensemble has only geometrical spectral correlations due to J({E})
the Porter’s theorem

Mapping onto a system of repelling charges in a parabolic potential well at the “temperature” 1/β

β=1 (!)

β=2 (!)

β=4 (!)

The problem: how the GOE to GUE crossover looks like
when an external magnetic field is switched on ?
1.Does the symmetry index β change abruptly from @GOE to
@GUE ?
2.How the change of the index β is reflected in the thermodynamic
properties of the nanoclusters?
3.What are predictions for temperature/field dependences change of the
specific heat and magnetic susceptibility?

A real NxN antisymmetric matrix A is independently
distributed from real symmetric matrix H0 . Both matrices
are distributed with the same Gaussian distribution , so
that the distribution of the complete Hamiltonian H is :
The variance determines the mean level spacing δ :
The distribution P(H) interpolates between GOE for α=0
and GUE for α=1
Pandey and Mehta (1983,1991) Hamiltonian for GOE to GUE
transition in external magnetic field

Двухуровневая корреляционная функция во внешнем магнитном поле: аналитическое решение Pandey&Mehta (1991)
;
баллистическое движение

диффузия R>>l
l – длина своб.пробега
R-размер образца; vf-скорость Ферми; δ − среднее
межуровневое расстояние
Fram&Pichard (1995); Bohigas et al. (1995)

Beenakker, Rev.Mod.Phys. (1997)

red line: h=0.02; blue line: h=1.62; green line: h=0.82