Точечные и интервальные оценки случайной величины

Определения
Приближенное значение случайной величины, вычисленное по ограниченному числу опытов, т. е. выборке, содержит элемент случайности и называется оценкой.
Статистические оценки делятся на точечные и интервальные.
Оценка определяемая одним числом, называется точечной.

Требования к оценке
Оценка для параметра представляет собой функцию величин
1) Несмещенность – среднее значение средних величин равно среднему значению выборки

Требования к оценке
2) Состоятельность – с увеличением числа опытов случайная величина приближается (сходится по вероятности) к параметру

Требования к оценке
3) Эффективность – оценка обладает наименьшей дисперсией по сравнению с другими

Точечные оценки
Для математического ожидания: среднее выборочное наблюдаемых значений – это состоятельная и несмещенная оценка.
Эффективность оценки зависит от вида распределения случайной величины.
Для дисперсии : выборочная дисперсия, среднее квадратичное отклонение и исправленная выборочная дисперсия
– несмещенные оценки.

Интервальная оценка
Для оценки точности и надежности вычисленного параметра используют доверительные интервалы и доверительные вероятности.
- точечная оценка параметра;
- некоторая малая, положительная величина.

Определение
Доверительный интервал - интервал
который с вероятностью накрывает истинное значение параметра.
- достаточно большая вероятность, при которой событие можно считать практически достоверным.
- вероятность допустить ошибки при вычислении параметра (очень малая величина, уровень значимости).

Свойства интервальной оценки
1) Точность интервала определяется (чем меньше, тем точнее интервал).
2) Надежность интервала определяется доверительной вероятность (надежностью).
Интервал может быть точным или надежным.

Доверительный интервал для математического ожидания
Пусть величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением , тогда доверительный интервал надежностью имеет вид
где - значение функции Лапласа, определяется по таблице,

Доверительный интервал для математического ожидания
В случае малой выборки значение функции Лапласа заменяется на функцию Стьюдента (или t-распределения) с (n-1) степенями свободы
Определяется по таблице.

Замечания
1. Минимальный объем выборки, который обеспечит требуемую оценку математического ожидания с достаточной точностью и надежностью , можно найти по формуле
2. При неограниченном возрастании объема выборки п распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Пример
Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально.
По выборке объема п= 16 найдены выборочная средняя =20,2 и = 0,8.
Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью = 0,95.

Решение
По таблице квантилей t-распределения находим значение .
Используя определение доверительного интервала находим границы:

Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. Оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение (найти доверительные интервалы, покрывающие параметр с надежностью , т.е.

Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения
Для нахождения используют распределение
Его значение определяют по таблице квантилей или q
Где , величина распределенная по закону хи-квадрат,
- исправленное среднее квадратичное отклонение