Точки и линии, связанные с треугольником

О биссектрисах внешних углов
Начала я изучение треугольника с известных всем линий – биссектрис углов. В геометрии рассматриваются как биссектрисы внутренних углов треугольника, так и внешних. Уже семиклассникам известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника конкурентны, т. е. пересекаются в одной точке. Как же обстоит дело с внешними биссектрисами?
Оказывается, что внешние биссектрисы любых двух углов треугольника конкурентны с внутренней биссектрисой третьего угла.
C

Теорема Штейнера-Лемуса
Кроме того оказалось, что любой треугольник, у которого равны длины биссектрис двух углов (измеряемые от вершины до противоположной стороны) является равнобедренным. Это теорема носит имя Штейнера-Лемуса. Она сотни лет считалась трудной для доказательства, однако на сегодняшний день она доказана.

Ортотреугольник
Другие знаменитые линии треугольника – его высоты. Их тоже изучают в школьном курсе. Все высоты конкурентны и их общая точка называется ортоцентром. Треугольник, вершинами которого являются основания высот исходного треугольника, называется ортотреугольником. Поэтому следующее, что я изучала был ортотреугольник. Я выяснила, что ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной
в его ортотреугольник.

Прямая Эйлера
Третья знаменитая линия треугольника - медиана. Как известно все три медианы тоже конкурентны, их общая точка называется центроидом.
В моей работе доказано, что ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Причем центроид делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2:1.
Прямая же, на которой лежат эти три точки, носит название прямой Эйлера
этого треугольника.
C’

Окружность девяти точек
Кроме того, известен и другой замечательный факт: основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности, называемой окружностью девяти точек этого треугольника.
Последний вопрос, который я изучила и отразила в своей работе,
связан с расположением окружности девяти точек и прямой Эйлера.
Доказано, что центр окружности девяти точек лежит на
прямой Эйлера, точно в середине отрезка, между
ортоцентром и центром описанной окружности.
Доказательство этого самого интересного, на мой взгляд, факта
я сейчас и приведу.

Так как три точки K, L, M диаметрально противоположны точкам A’, B’, C’, то каждый из двух треугольников KLM или A’B’C’ может быть получен из другого поворотом на 180o вокруг центра этой окружности. Очевидно, что этот поворот, который меняет местами эти два равных треугольника, должен так же поменять местами и их ортоцентры H и O. Следовательно, центром окружности девяти точек является середина отрезка OH, которая обозначена точкой N. Таким образом, N – центр окружности девяти точек.