Углы и отрезки, связанные с окружностью

Свойства углов, связанных с окружностью
Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Свойства углов, связанных с окружностью
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Свойства углов, связанных с окружностью
В
М
К
А
С
Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны которого пересекают его окружность, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.
Док-во: проведём хорду АМ.
Угол АМС- внешний угол треугольника АМВ, он равен сумме углов А и В. Значит угол В равен разности углов АМС и МАК. А эти углы – вписанные в окружность и измеряются половинами дуг АС и КМ на которые они опираются. Следовательно, угол В равен полуразности этих дуг.

Свойства углов, связанных с окружностью
В
М
К
А
С
Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух его дуг, одна из которых заключена между сторонами угла, а другая – между продолжениями сторон угла.
Док-во провести самостоятельно.