Велик ли мир правильных многогранников?

Цель исследования:
Узнать зависит ли существование правильного многогранника от количества вершин, рёбер и граней?

Задачи исследования:
Научиться находить и извлекать необходимую информацию в условиях её обилия.
Связать воедино теоретическую и прикладную линии данной темы.

Гипотеза:
Мы думаем, что в природе не существует больше пяти, известных нам, правильных многогранников.

План исследования:
Правильные многогранники
Применение теоремы Эйлера
Теорема Эйлера

Многогранник - это
Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называемых гранями многогранника

Выпуклый многогранник называется правильным, если:
Его грани - правильные многоугольники
В вершине сходится одно и то же число ребер
Все многогранные углы – равны
Правильные многогранники
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников.

1) Правильный тетраэдр
Грани – правильные треугольники
В каждой вершине сходится по три ребра
Имеет всего четыре грани
В переводе с греческого – «четырехгранник»

Все грани – квадраты
В каждой вершине сходится по три ребра
Представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами
2)Куб - Гексаэдр
3)Октаэдр
Грани – правильные треугольники
В каждой вершине сходится по четыре ребра
Поверхность состоит из 8 правильных треугольников

4)Додекаэдр
5)Икосаэдр
Грани – правильные треугольники
В каждой вершине сходится по пять ребер
Поверхность состоит из 20 правильных треугольников
Грани – правильные пятиугольники
В каждой вершине сходится по три ребра
Поверхность состоит из 12 правильных пятиугольников

Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство
В – Р + Г = 2
где В – число вершин
Р – число ребер
Г – число граней данного многогранника
Это свойство связывает число вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером и получившее название теоремы Эйлера
Теорема Эйлера

Дан правильный многогранник: грани n-угольники, в вершине сходится m-рёбер.
Ясно, что m,n больше или равны трём.
В- вершины, Р-рёбра, Г-грани многогранника.
Тогда nГ=2Р; Г=2Р/n; mВ=2Р; В=2Р/m.
По теореме Эйлера В-Р+Г=2, значит 2Р/m-Р+2Р/n=2.
Отсюда, Р= 2mn:(2n+2m-mn). Из этого равенства следует, что 2n+2m-mn>0,отсюда (n-2)(m-2)< 4.
Следовательно, если n и m равны 4 и более, то они не удовлетворяют неравенству, значит соответствующих многогранников не существует.
Таким образом, мы доказали справедливость нашей гипотезы.

Содержание
Вывод
Используя теорему Эйлера, мы доказали, что в природе не существует больше пяти правильных многогранников.
Изучая геометрию, мы научимся правильно думать, убедительно рассуждать, хорошо
представлять себе пространственные формы, увидеть и почувствовать их красоту.