Волны де Бройля

Французский ученый Луи де Бройль (1892—1987), выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма: не только фотоны, но любые другие частицы наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.
Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики — энергия E и импульс p, а с другой — волновые характеристики — частота ν и длина волны λ. Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:
Любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля
Американские физики К. Дэвиссон (1881—1958) и Л. Джермер (1896—1971) обнаружили (1927 г.) что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки — кристалла никеля, — дает отчетливую дифракционную картину.
Схема опытов Дэвиссона – Джермера
(A-электронная пушка, C – детектор).
Зависимость интенсивности рассеянного пучка электронов от его энергии (угол рассеяния полагается неизменным).

Соотношение неопределенностей Гейзенберга
Пусть наблюдается дифракция электронов на щели шириной Δx. В момент прохождения электронов через щель, их положение в направлении оси x определяется с точностью до ширины щели Δx. Вследствие дифракции, электроны отклоняются от первоначального направления, и большая их часть будет двигаться в пределах угла 2ϕ, соответствующих положениям первых дифракционных минимумов. Следовательно, появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси x:

Первый дифракционный минимум определяется из условия:
λ – длина волны де Бройля.
Исключая sinϕ , получим:
Учитывая, что часть электронов попадает за пределы центрального максимума, получим соотношение неопределенностей, которое было сформулировано В. Гейзенбергом (1927 г.):
Соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии E и времени t. Неопределенности этих величии удовлетворяют условию
Соотношение неопределенностей энергия – время устанавливает принципиальные ограничения на точность экспериментальной проверки закона сохранения энергии. Если в системе на некоторое время появится дополнительная энергия , но так, что выполнено соотношение неопределенностей, то говорить о нарушении закона сохранения энергии нельзя, так как такое нарушение не может быть обнаружено ни в каких экспериментах в принципе.

Волновая функция и ее свойства
Интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства связана с числом частиц, попавших в эту точку, о чем свидетельствуют опыты по дифракции микрочастиц. Поэтому волновые свойства микрочастиц требует статистического (вероятностного) подхода к их описанию.
Для описания поведения квантовых систем вводится волновая функция (другое название — пси-функция) Ψ(x,y,z,t)
Она определяется таким образом, чтобы вероятность dw того, что частица находится в элементе объема dV, была равна:
Физический смысл имеет не сама функция Ψ, а квадрат ее модуля
которым задается интенсивность волн де Бройля
- функция, комплексно сопряженная с Ψ

Величина имеет смысл плотности вероятности ρw
Сама волновая функция Ψ имеет смысл амплитуды вероятности.
Условие нормировки вероятностей получается из того, что вероятность существования частицы, где-либо в пространстве равна единице (интеграл вычисляется по всему бесконечному пространству):
Волновая функция, характеризующая вероятность обнаружения микрочастицы в элементе объема должна быть
1) конечной (вероятность не может быть больше единицы),
2) однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной),
3) непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

Волновая функция позволяет вычислить средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние имеет вид:
Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями
то она также может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций
где — произвольные числа.
Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Общее уравнение Шредингера
Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики имеет вид
m - масса частицы;
- оператор Лапласа;
U(x,y,z,t) потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется;
- мнимая единица;
Ψ— искомая волновая функция частицы
Уравнение дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:
волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;
2) производные , , , должны быть непрерывны;
3) функция должна быть интегрируема.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний
Важным частным случаем общего уравнения Шредингера, является уравнение Шредингера для стационарных состояний, в котором исключена зависимость Ψ от времени и, поэтому, значения энергии этих состояний являются фиксированными (не изменяются со временем).
В этом случае силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция U(x,y,z,t) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Решение уравнения может быть представлено в виде произведения двух функций — функции только координат и функции только времени:
где E - полная энергия частицы.
Подставим эту функцию в уравнение Шредингера:

После упрощений получим уравнение Шредингера для стационарных состояний:
или
Физический смысл имеют только регулярные волновые функции — конечные, однозначные и непрерывные вместе со своими первыми производными. Эти условия выполняются только при определенном наборе энергий E. Эти значения энергии называются собственными. Решения, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном (или сплошном) спектре, во втором — о дискретном спектре.

Движение свободной частицы
Пусть свободная частица движется вдоль оси x. Для такой частицы U(x)=0. Уравнение Шредингера в этом случае примет вид:
Решением этого уравнения является функция:
где
- волновое число может принимать любые положительные значения
- энергетический спектр свободной частицы непрерывный.
Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства ,т.е. все положения свободной частицы в
пространстве являются равновероятными.

Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками"
Рассмотрим частицу в одномерной "потенциальной яме" (упрощенная модель движения коллективизированных электронов внутри металла). Потенциальная энергия в этом случае имеет вид:
где l - ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в пределах ямы имеет вид:
или
где
За пределы «ямы» частица не проникает, поэтому волновая функция вне ямы равна нулю, следовательно, на границах «ямы» в силу непрерывности волновая функция также должна обращаться в ноль:

Этим граничным условиям удовлетворяет решение уравнения Шредингера
при
и
Поскольку
то
Таким образом, энергия частицы в бесконечно высокой потенциальной "яме" принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется.
Квантованные значения энергии En называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы называется главным квантовым числом.
Собственные волновые функции
с учетом условия нормировки
будут иметь вид:

На рисунке изображены графики собственных функций (а) и плотность вероятности (б) обнаружения частицы на разных расстояниях от "стенок" ямы, определяемая выражением
Состояние с минимальной энергией (n = 1) называют основным, остальные – возбужденными. Энергия основного состояния не равна нулю – это общий результат квантовой механики, справедливый для всех ее задач.
Оценим разность энергий между ближайшими энергетическими уровнями:
Чем меньше масса частицы и ширина области движения, тем больше ΔE. Для электрона (масса порядка 10-30 кг) в атоме (размер порядка 10-10 м) получим ΔE ~ 10 эВ, а для молекулы (масса ~ 10-27 кг) в сосуде (размер порядка 10-1 м) – ΔE ~ 10-20 эВ. В последнем случае (ширина ямы макроскопических масштабов) энергию молекулы можно считать непрерывно изменяющейся величиной.