Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
Прямая принадлежит плоскости (см. тема 3): все точки прямой являются точками плоскости
Прямая параллельна плоскости: общих точек нет
Прямая пересекает плоскость: одна общая точка
Плоскости параллельны: общих прямых нет
Плоскости пересекаются: одна общая прямая
Прямая и плоскость:
Две плоскости:

Принадлежность прямой плоскости
Прямая принадлежит плоскости, если она проходит:
через две точки этой плоскости;
2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой этой плоскости
Σ(n⎟⎟ m)
1
(1∈m)∈Σ; (2∈n)∈Σ
а→(1 И 2) ⇒ а∈Σ
2
Σ(n ∩ m)
(1∈m)∈Σ; 1∈b
b⎟⎟ n ⇒ b∈Σ

Параллельность прямой и плоскости
Через точку А в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных данной плоскости Σ . Для однозначного решения проведем в плоскости прямую n
Σ
b
Прямая параллельна
плоскости, если она
параллельна какой-либо
прямой, лежащей в
этой плоскости
А
Признак параллельности:
b⎟⎟ n∈Σ ⇒ b⎟⎟ Σ

Параллельность прямой и плоскости
Построим в плоскости Σ (ΔАВС ) вспомогательную фронталь f ′. Через точку D проводим фронталь f , проекции которой параллельны одноименным проекциям фронтали f ′. Получаем искомую прямую f , параллельную заданной плоскости Σ (ΔАВС )
Σ
b
Через точку D провести фронталь, параллельную плоскости Σ(ΔАВС)
Задача:
b⎟⎟ n∈Σ ⇒ b⎟⎟ Σ
А

Параллельность прямой и плоскости
Σ(Σ1, Σ2)
x
Если прямая а параллельна плоскости общего положения, то в плоскости строят вспомогательную прямую n и выполняют условие параллельнос-ти одноименных проекций прямых а и n. Если плоскость проецирующая, то одна из проекций искомой прямой m параллельна следу плоскости
n1
n2
а2
а⎟⎟ n
x
Σ ⊥ П2
n∈Σ

Параллельность двух плоскостей
Признак параллельности: плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. В качестве прямых могут быть использованы следы плоскостей
b⎟⎟ n
а⎟⎟ m
Σ1⎟⎟ Θ1
Σ2⎟⎟ Θ2

Параллельность двух плоскостей
Искомая плоскость Θ задается двумя пересекающимися прямыми m и n, проекции которых соответственно параллельны проекциям прямых а и b заданной плоскости.
У параллельных плоскостей Θ и Σ следы параллельны
n⎟⎟ b
b1
a1
m⎟⎟ a
Θ1⎟⎟ Σ 1
⇒ Θ⎟⎟ Σ
b2
a2
Через точку D провести плоскость Θ, параллельную плоскости Σ(a ∩ b)
Задача 1:

Σ
Пересечение прямой с проецирующей плоскостью
Одна из проекций точки 1 (пересечения прямой n с проецирующей плоскостью Σ ) находится на пересечении следа плоскости Σ1 с проек-цией прямой n1 . Видимость прямой определяется по направлению взгляда наблюдателя, плоскость считается непрозрачной
n2

Пересечение плоскости общего
положения с проецирующей плоскостью
Две плоскости пересекаются по прямой линии. Необходимо найти две точки искомой линии пересечения, которые принадлежат одновременно двум плоскостям
– горизонтально
проецирующая плоскость;
Θ(Δ) – плоскость
общего положения
Θ
Θ1
Θ2

Пересечение плоскости общего
положения с проецирующей плоскостью
Горизонтально проецирующая плоскость Σ проецируется на П1 в виде следа, которому принадлежит проекция 1121 искомой линии пересечения. Часть треугольника, находящаяся перед плоскостью Σ , будет видима на П2 . Линия 1222 служит границей видимости

Пересечение прямой общего положения
с плоскостью общего положения
Σ
m
Через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость Θ .
Находят линию пересечения 1-2 плоскостей: заданной Σ и вспомога-тельной Θ . 3. На полученной линии пресечения 1-2 находят общую точку К с заданной прямой m . 4. Определяют видимость прямой m
Алгоритм:
1. m∈Θ
2. Θ ∩ Σ = 1-2
3. 1-2 ∩ m = K
4. Видимость m

1 ПО. Пересечение прямой общего
положения с плоскостью общего положения
m1
m2
В качестве вспомогательной выбираем горизонтально проецирующую плоскость Θ (Θ1), проходящую через заданную прямую m . Строим горизонтальную 1121 , а затем фронтальную 1222 проекции линии пересечения вспомогательной плоскости Θ с данным треугольником Σ
m∈ Θ;
Θ ⊥ П1 ⇒ Θ1∈m1
Θ ∩ Σ(Δ)=1-2;
1121 → 1222
Σ1
Σ2

1 ПО. Пересечение прямой общего
положения с плоскостью общего положения
m1
m2
Находим фронтальную проекцию K2 точки пересечения К линии 1-2 и данной прямой m . Горизонтальная проекция К1 искомой точки пересечения будет принадлежать горизонтальной проекции m1 прямой m
m∈ Θ;
Θ ⊥ П1 ⇒ Θ1∈m1
Θ ∩ Σ(Δ)=1-2;
1121 → 1222