ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.

РАЗМИНКА
1 вариант
Докажите, что 102009 + 8 кратно 9.
2 Вариант.
Доказать, что разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

1 вариант.
Признак делимости на 9 – сумма цифр в числе делится на 9.
102009 + 8 – число, состоящее из единицы, 2010 нулей и цифры восемь. ( 1+8=9), следовательно кратно 9.
2 Вариант.
авс – сва =100а+10в+с - ( 100с + 10в + а) = 99а – 99с = 99
( а-с ). 99 делится на 9, следовательно 99 ( а-с ) делится на 9.
РЕШЕНИЕ.

Доказать, что при любом чётном n число n³+20n делится на 48.
ЗАДАЧА №1

n=2к
n³+20n= 8к(к2+5)кратно 8
к(к2+5)=к3-к+6к= (к-1)к(к+1) +6к
6к кратно 6
(к-1)к(к+1) кратно 6
Следовательно n³+20n кратно 48.
РЕШЕНИЕ.

Сумма трех целых чисел делится на 6. Доказать, что и сумма кубов этих чисел делится на 6.
ЗАДАЧА №2

х3+у3+z3-(х + у +z) делится на 6.
х3-х, у3-у, z3-z (делятся на 6) х3-х=х(х2-1)= х(х-1)(х+1)
РЕШЕНИЕ.

Доказать, что ни при каком натуральном n число n2 +1 не делится на 3
ЗАДАЧА №3.

Метод полной индукции:
n=3к, то n2 +1=9к2+1 (при делении на 3 остаток1)
n=3к+1, то n2 +1=9к2+6к+2 (при делении на 3 остаток 2)
n=3к+2, то n2 +1=(9к2+12к+3)+2 (при делении на 3 остаток 2)
Следовательно, ни при каком натуральном n не делится на 3.
РЕШЕНИЕ.

Докажите, что значение выражения
116+146-133 кратно 10.
ЗАДАЧА №4

116 оканчивается на 1.
146 оканчивается на 6.
133 оканчивается цифрой 7.
116+146-133 оканчивается на0, следовательно делится на 10.
РЕШЕНИЕ.

Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.
ЗАДАЧА №5

а+в=168, где а=24n1, в=24n2, где
n1 и n2натуральные числа.
24n1+24n2=168
n1+n2=7
а=24,48,72; в=144, 120,96.
РЕШЕНИЕ.

Сколько делителей у числа 1010?
ЗАДАЧА №6