Задачи по теории вероятностей, решаемые путем рассуждений

№ 1. Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков?
Решение: При подбрасывании двух игральных кубиков имеем 36 равновозможных исходов. Из них благоприятными будут 4 исхода: 1+4, 2+3, 3+2, 4+1. Отсюда вероятность равна 4/36 = 1/9.

№ 2. Карточки с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 перемешивают и выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится четное число?
Решение 1: Исходами опыта являются перестановки из пяти чисел, которых 5!. Чтобы получить благоприятный исход (т.е. перестановку с четной цифрой на конце), нужно поставить на последнее место любую из двух четных цифр (2 варианта), на предпоследнее – любую из четырех оставшихся (4 варианта), перед ней – любую из трех оставшихся (3 варианта) и т.д. Всего по правилу умножения 2*4*3*2*1 = 2*4! благоприятных исходов. Отсюда вероятность равна 2*4!/5! = 2/5.

Решение 2: Поскольку четность числа зависит только от последней цифры, то будем выкладывать наше число именно с нее. Вероятность вытащить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 четную цифру равна 2/5. Это и будет искомой вероятностью, так как от остальных четырех цифр четность уже не зависит.

№ 3. Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что оба числа окажутся меньше 5?
Решение: При подбрасывании двух игральных кубиков имеем 36 равновозможных исходов. Чтобы получился благоприятный исход, на первом кубике должно выпасть любое число от 1 до 4 (это 4 варианта) и на втором кубике – любое число от 1 до 4 (4 варианта). Всего по правилу умножения 4*4=16 благоприятных исходов. Отсюда вероятность равна 16/36 = 4/9.

№ 4. Буквы слова КУБИК перемешиваются и случайным образом выкладываются в ряд. С какой вероятностью снова получится это же слово?
Решение: Опыт имеет 5! равновозможных исходов – это перестановки из пяти букв. Если бы все буквы были различными, то благоприятный исход был бы только один. Но поскольку в слове две буквы К, то при двух разных перестановках получится одно и то же слово КУБИК. Значит, благоприятных исходов будет два, а вероятность равна 2/5! = 1/60.

№ 5. Игральный кубик бросили два раза. Какое из следующих событий более вероятно:
А = «оба раза выпала пятёрка»
В = «в первый раз выпала единица, а во второй раз – пятёрка»
С = «сумма выпавших очков равна 2»

Решение: Опыт имеет 6*6=36 равновозможных исходов. Для события А – один благоприятный исход; для события В - один благоприятный исход; для события С - один благоприятный исход (на обоих кубиках выпали 1). Отсюда все события имеют одинаковую вероятность 1/36.

№ 6. На отрезок [-2;2] бросают случайную точку. Какова вероятность того, что её координата будет больше 1?
Решение: Длина всего отрезка равна 4. длина той его части, где координата больше 1, равна 1. отсюда вероятность равна 1/4.

№ 7. Два пассажира садятся в электричку из восьми вагонов. С какой вероятностью они окажутся в разных вагонах, если каждый из них выбирает вагон случайным образом?

Решение 1: Опыт представляет собой выбор двух вагонов из восьми с повторением: первый пассажир может выбрать любой из 8 вагонов, второй пассажир тоже может выбрать любой вагон из 8. Общее количество исходов равно 8*8=64. Чтобы исход был благоприятным, первый человек может сесть в любой из 8 вагонов, а второй – в любой из 7 оставшихся, поэтому количество благоприятных исходов равно 8*7=56. Искомая вероятность 7/8.

Решение 2: Пусть первый человек уже сел в какой-нибудь вагон. Если второй человек выбирает вагон наугад, то у него останется 7 шансов из 8 выбрать так, чтобы не попасть в тот же вагон. Поэтому вероятность равна 7/8.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
ВАРИАНТ 1.
№ 1. Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков?
№ 2. Буквы слова ХОРОШО перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. С какой вероятностью снова получится это же слово?
№ 3. На отрезок [-3;3] бросают случайную точку. Какова вероятность того, что ее координата будет меньше 1?
ВАРИАНТ 2.
№ 1. Карточки с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 перемешивают и выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится четное число?
№ 2. Подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность того, что оба числа окажутся больше 2?
№ 3. Два пассажира садятся в электричку из восьми вагонов. С какой вероятностью они окажутся в одном вагоне, если каждый из них выбирает вагон случайным образом?