Закон збереження імпульсу

Центр мас
Імпульс системи частинок в інерціальній системі відліку К:
Перейдемо до іншої інерціальної системи К’, яка рухається зі швидкістю , так щоб
Оскільки то
Звідси

Центр мас
Точка, відносно якої повний імпульс дорівнює нулю, називається центром мас, або центром інерції. Тому u – швидкість центра мас uc.
Звідси координати центра мас.
Повний імпульс можна подати як добуток повної маси на швидкість центра мас.

Імпульс замкнутої системи
У відсутності зовнішніх сил (F = 0) p = const - повний імпульс зберігається.

Пружний і непружний удари
Замкнена система. Абсолютно непружний удар (тіла злипаються). Маси m1 і m2. Швидкості до удару υ10 і υ20. Із закону збереження сумарного імпульсу
При цьому енергія не зберігається, оскільки відбулось розсіяння енергії на нагрівання тіл.

Пружний і непружний удари
Розглянемо абсолютно пружний центральний удар. Із законів збереження енергії та імпульсу

Пружний і непружний удари
Якщо m1 = m2, тоді υ1 = υ20 і υ2 = υ10 ,
зокрема, якщо υ10 = 0, тоді υ2 = 0.

Пружний удар

Удар об стінку
Якщо кулька ударяється об стінку, можна ототожнити стінку з кулькою масою m → ∞. В такому разі
Якщо стінка стоїть (υ20 = 0), тоді кулька відбивається назад з тією ж швидкістю.
Коли стінка рухається назустріч кульці, швидкість кульки зростає на 2υ20 і зменшується на 2υ20, якщо стінка тікає від кульки.

Відбивання м’яча від стінки

Співударяння кульок. Нецентральний удар

Реактивний рух
Якщо тіло з масою m розірветься (m = m1 + m2), то осколки отримають швидкості υ1 і υ2. Оскільки зовнішніх сил немає, то повний імпульс залишиться незмінним. Якщо на початку р = 0, то і вкінці
Звідси
Надалі швидкості залишаються сталими.

Реактивний рух
При реактивному русі тіла його маса змінюється (1897 р. І.В.Мещерський).
Нехай в момент часу t швидкість ракети дорівнює υ, швидкість газів відносно ракети υo, а відносно Землі υo-υ.

Реактивний рух
В реальних ракетах маса палива не перевищує 80% маси ракети. Швидкість витікання газів при згорянні найкра-щого пального υо ≤ 4·103 м/с.
Тому
А перша космічна швидкість υІ ≈ 8 км/с.

Реактивний рух
Вирішення проблеми: 1) збільшити
υо (ядерне паливо, фотонна ракета,
плазмові прискорювачі), 2) зробити
ракету багатоступінчатою (бак
відділяється, маса зменшується і
починається все спочатку).

Закон збереження моменту імпульсу
Розглянемо систему взаємодіючих частинок, на які діють зовнішні сили

Закон збереження моменту імпульсу
Оскільки
( = 0 )

Закон збереження моменту імпульсу
Якщо момент зовнішніх сил М = 0, тоді
Якщо діє пара сил, , тоді
- момент імпульсу замкнутої
системи незмінний

Рух в полі центральних сил. Задача двох тіл.
В системі центра мас rc = 0,
Введемо

Рух в полі центральних сил. Задача двох тіл.
- приведена маса

Рух в полі центральних сил
Площина орбіти фіксована, r завжди в одній площині.
Площа сектора

Еліптичні орбіти планет. Закони Кеплера
Перший закон Кеплера: планети рухаються по еліптичній
орбіті, в фокусі якої знаходиться Сонце.

Закони Кеплера
Другий закон Кеплера: при русі планет по орбіті секторна швидкість залишається постійною.
Оскільки

Закони Кеплера
Третій закон Кеплера
або

Космічні траєкторії
Для гравітаційних сил
З цієї системи рівнянь можна знайти r(t) і ϕ(t), тобто
розрахувати траєкторію руху планети.

Космічні траєкторії

Орбіти
еліптична
геостаціонарна

Космічні траєкторії
Виявилось, що у випадку, коли повна енергія E < 0, траєкторією є еліпс. Коли Е = 0, отримаємо параболу.
В цих випадках α < 0.
Коли E > 0, отримаємо гіперболу. При цьому величина α може бути як більшою, так і меншою нуля.
Коли ми розглядаємо гравітаційне поле, завжди α < 0. Поле електричних зарядів може відповідати як α < 0 (притягування різнойменних зарядів) так і α > 0 - відштовхування однойменних зарядів. В останньому випадку траєкторія може бути лише гіперболічною.

Енергія тіла в гравітаційному полі планети