Жизнь по законам математики

Изучить историю возникновения тригонометрии и понять, как зарождались математические понятия, связанные с ней
Узнать, в каких сферах жизни применяется тригонометрия
Научиться использовать знания, полученные на уроках математики, в задачах с практическим содержанием
Цели урока

«Великая книга природы может быть прочтена только теми, кто знает язык, на котором она написана, и этот язык – математика.»
Галилео Галилей
(1564 – 1642)

Какие житейские ситуации
повлияли на возникновение
тригонометрических функций?

Геодезическая съемка местности
Самозахватывающий ключ

Квадрант
Пучок радиоволн

Современные инженеры и техники, создающие различные машины и механизмы, в которых происходит преобразование круговых движений в прямолинейные и обратно, должны знать теорию тригонометрических функций любых углов.
Для начала рассмотрим модель:
Длина окружности

Представим себе нить в форме окружности. Разрежем её и растянем за концы.
Тонкая нить
С
Длина полученного отрезка и есть длина
окружности.
Длина окружности

Верхушка головы - где 1,7м рост человека.
Ноги прошли путь , где R радиус земного шара.
Задача 1. Вообразите, что вы обошли землю по экватору. На сколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги?
Решение.
Разность путей равна
Итак голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги.
Ответ:10,7 м.

Задача 2. Вечером автобус на повороте радиусом закругления R = 100 м освещает дорогу светом, расходящимся от фар, под углом α ~ 2° к направлению движения. Какова длина дороги, обозримой водителем на повороте?
Решение.
Пусть автомобиль находится в точке А. Тогда фары освещают дугу АВ, длину которой и требуется найти.
Соединим точки А и В с центром окружности О. Угол а образован касательной к окружности и хордой. Поэтому его величина равна половине угловой величины дуги АВ, тогда:
А
О
В
R
a

Модель 2. Радианное измерение дуг и углов
Существуют различные способы измерения дуг и углов. Механики чаще измеряют углы, образующиеся при вращательных движениях. Всем известно выражение «обороты двигателя». Астроном – углы, образующиеся при вращении Земли вокруг оси (долгота). Землемеры – измеряет углы в градусных величинах.
Наиболее удобной мерой измерения углов и дуг, связанных с вращательными движениями оказалась радианная мера.

Радианная мера угла
у
О
Р
х
1 радиан это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности
1 радиан
1 радиан ≈ 57 °
90°
270°
180°
0°
360°
180°= π рад
180°? развёрнутый угол? π
90°? прямой угол?
360°? полный угол? 2π
Формула перехода от радианной меры к градусной :
Формула перехода от градусной меры к радианной:

Задача 2. Маховик трактора имеет в диаметре 0,5 м и делает 1980 оборотов в минуту.
а) Выразите в радианной мере угловую скорость ψ маховика.
б) Выразите в радианах, а затем в метрах длину дуги l, описанную за t часов точкой, взятой на ободе маховика.
в) Найдите линейную скорость v этой точки.

Модель 3. Координатная окружность
Периодический характер имеют многие световые, звуковые, электромагнитные явления, а также целый ряд явлений, наблюдаемых нами в самой природе (движение планет, смена дня и ночи, смена времен года и т.д.) и в организме человека (работа сердца).
Закономерности периодических явлений описываются функциями. Изучение таких функций значительно облегчает установление соответствия между действительными числами и точками окружности.

0
1
2
2
1
-1
-2
-2
3
-1
-3
t
Каждой точке числовой прямой соответствует единственная точка числовой окружности.
Длина дуги равна длине
единичного отрезка
A
R=1 ед. отр.

Задача.
Колесо автомобиля вращается с угловой скоростью π рад/с.
Найти число оборотов:
а) за 25с
б) за 1 мин 10 с

Колебания - один из самых распространенных процессов в природе и технике.
Даже наше каждодневное хождение на работу и возвращение домой попадает под определение колебаний, которые трактуются как процессы, точно или приближенно повторяющиеся через равные промежутки времени.

Задача. Для двух шкивов, соединенных ременной передачей вычислите углы α при прямой передаче и β при перекрестной, если диаметры шкивов D=250 мм и d = 100 мм, а расстояние между центрами шкивов l=1250 мм

Случай 1
1250
1250
125
50
A
C
B
O
O₁
α
Дано:
OO₁=1250 мм
OB=50 мм
O₁C = 125 мм
Найти
α-?
AB = l
AC = R- r

Ответ:
Случай 2
O₁
O
T
C
A
β
Дано:
OO₁=1250 мм
OC=50 мм
O₁A = 125 мм
Найти
β-?
;
,

Простые гармонические колебания описываются с помощью функций синус и косинус:
А – амплитуда, ω - частота, - начальная фаза колебаний

Существует легенда о том, что еще в древнем Китае монахи день за днем вели наблюдения за человеком, записывая параметры его физической активности, умственных способностей и эмоционального состояния. В результате многолетних исследований они пришли к выводу, что эти три функции являются периодическими с периодами для физической активности 23 дня, эмоциональной – 28 дней и интеллектуальной – 33 дня.
Функции состояния человека в момент его рождения равны нулю, затем начинают возрастать, и каждая за свой период принимает одно максимальное положительное и одно минимальное отрицательное значения.

Проанализировав эту информацию, можно построить следующую модель:
где t – время, Tr – периоды, r – номер периода. Началом всех трех кривых является день рождения t=t0, sin(0)=0.

Биоритмы человека

Задача. Рассмотрим привод колеса паровоза. Кривошип АВ длиной r связан с ползуном С с помощью шатуна ВС. При равномерном вращении кривошипа со скоростью ω ползун совершает поступательное движение в корпусе. Найти расстояние, на которое продвинется ползун в момент времени t. В начальный момент времени положение кривошипа совпадает с положительным направлением оси ОХ.
А

Построение графиков математических функций в Excel
осуществляется с помощью Мастера диаграмм
Далее необходимо составить таблицу значений этой функции.
В соответствующие ячейки внести значения аргумента функции
с некоторым шагом и значения самой функции со ссылкой
на аргумент.
После этого необходимо выделить таблицу значений функции
и выполнить в меню: Вставка – Диаграммы – Точечная.
Алгоритм построения графика функции

Графики тригонометрических функций

Тригонометрические уравнения и неравенства

Алгоритм подбора параметра
В ячейку А1 вводим пояснение – t (время)
В ячейку А2 вводим пояснение – I (сила тока)
В ячейку В1 вводим значение для параметра время, например, 0.
В ячейку В2 вводим формулу для вычисления силы тока: =10*sin(50*B1+1)
5. Выбираем вкладку:
Данные \ Работа с данными \ Анализ "что-если" \ Подбор параметра…
6. В появившемся окне Подбор параметра:
в поле значение вводим - 2
в поле изменяя ячейки вводим адрес ячейки В1

1.
2.

Задача. Как направить луч на границу двух сред, чтобы угол падения луча превышал угол преломления на данную величину?
Решение.
Если α1>α2 на αο, то отыскание искомого угла х сводится к решению уравнения:
После упрощения получаем:
При α=10о и коэффициенте n =1,33 преломления для воды получаем х=36о40/