10_ ОТС_ Методы анализа ЛИС-цепей 14

Задачи, связанные с сигналами и цепями
анализ
идентификация и синтез
обратная задача

ИХ, КЧХ, ПФ − функциональное описание
Принципиальная схема, дифференциальное уравнение − структурные способы описания

Точные методы анализа ЛИС-цепей:
Временной метод (интеграл Дюамеля)
Метод, основанный на решении дифференциального уравнения цепи
Операторный и спектральный методы
Метод комплексной огибающей (будет рассмотрен позже)
Они позволяют точно решить задачу анализа для любой ЛИС-цепи и при любом воздействии
Приближенные методы основаны на некоторых упрощающих допущениях
Метод мгновенной частоты (будет рассмотрен позже) и др.
Разные приближенные методы приводят к разным результатам !

(ЛИС-цепи с распределенными параметрами описываются линейными дифференциальными уравнениями в частных производных с постоянными коэффициентами)
Метод, основанный на решении ДУ
Дифференциальные уравнения вообще связывают значения некоторых физических величин со скоростями их изменения, скоростями изменения скоростей (ускорениями) и т.д.
ЛИС-цепи с сосредоточенными параметрами описываются наиболее простыми ДУ– обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами
− входной сигнал (воздействие)
− выходной сигнал (отклик)

Линейные ДУ с постоянными коэффициентами
Если входной сигнал задан, то тем самым задана вся правая часть уравнения
неоднородное уравнение
соответствующее однородное уравнение
Начальные условия − состояние цепи в начальный момент времени
характеристическое уравнение
Если коэффициенты уравнения вещественны, то корни либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. При этом некоторые корни могут совпадать (быть кратными).

Решение ЛДУ с ПК (пример см. в учебнике)
Если все корни простые, то общее решение однородного дифференциального уравнения описывает собственные колебания цепи и имеет вид
определяются начальными условиями
При наличии кратного корня (кратности m) присутствуют слагаемые вида
Для устойчивости цепи свободные колебания должны затухать со временем
все корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части (лежать в левой половине комплексной плоскости)

Связь спектрального метода с ДУ
Пусть на вход ЛИС-цепи воздействует
Тогда

Итак, КЧХ любой ЛИС-цепи имеет вид функции, дробно-рациональной относительно
Пример
неоднородное ДУ
однородное ДУ

характеристическое уравнение
корень характеристического уравнения
общее решение однородного ДУ
частное решение неоднородного ДУ при воздействии в виде функции Хэвисайда
Если начальное условие
Отклик на функцию Хэвисайда (переходная характеристика ЛИС-цепи)

Если на входе дельта-функция (сп. плотность ≡1)
Обратным преобразованием Фурье получаем отклик − ИХ

Операторный метод
Дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим
операторная передаточная функция

Метод комплексной огибающей
обычно применяется для анализа частотно-избирательных цепей при узкополосных воздействиях
Спектральная плотность

ИХ частотно-избирательной цепи (полосового фильтра)
Тогда спектральная плотность сигнала на выходе фильтра равна

где
Низкочастотный эквивалент ЧИЦ имеет ИХ
Итак,

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

Линейные нестационарные цепи
Линейные нестационарные цепи с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами
− входной сигнал (воздействие)
− выходной сигнал (отклик)
Общего метода решения нет

Модуляция – это изменение одного или нескольких параметров колебания, называемого несущим колебанием (переносчиком), в соответствии с изменениями первичного (информационного) сигнала.

Модуляция – это изменение одного или нескольких параметров колебания, называемого несущим колебанием (переносчиком), в соответствии с изменениями первичного (информационного) сигнала.
при модуляции (а также демодуляции) происходят такие преобразования сигнала, которые сопровождаются появлением новых частотных составляющих, отсутствовавших в спектре исходного сигнала
Высокие частоты
Низкие частоты

Изменение спектрального состава сигналов при модуляции и демодуляции
ЛИС-цепь не может обогатить спектр колебания новыми составляющими! (может только подавить имеющиеся)
Типичный способ формирования нужного спектрального состава:
обогащение спектра
частотная фильтрация

Линейные нестационарные цепи
где h(t,τ) - отклик цепи в момент t на входной сигнал в виде δ-функции, воздействующий на цепь в момент τ. Заменим переменную τ
Пусть на входе колебание

Линейные нестационарные цепи
Пусть на входе колебание
Однако эта функция зависит не только от частоты, но и от времени
Можно представить

подставим обратное ПФ для входного сигнала
Это не спектральная плотность !!!

Воздействие гармонического колебания на линейную параметрическую цепь
проводимость
(крутизна ВАХ)
Простейший случай − напряжение и крутизна изменяются по гармоническому закону с разными частотами