Динамика материальной точки

Введение
Раздел механики «Кинематика» посвящен описанию движения тел (траектории, скорости, ускорения) при этом не затрагивая описания причин этого движения.
Раздел механики «Динамика» занимается изучением причин движения. В основе классической (ньютоновской) «динамики» лежат три эмпирических (экспериментально установленных) закона, сформулированных Ньютоном в 1687 г.
Исаак Ньютон
1643-1727
Классическая механика имеет пределы применимости. Не применима если:
Скорость сопоставима со скоростью света (υ≈c ) → Релятивистская механика.
Размеры системы сопоставимы с размером атома (l ≈10-9м) → Квантовая механика.
Система содержит большое число частиц → Статистика.
Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. (скорость остается постоянной неопределенно долго, пока воздействие со стороны других тел не приведет к ее изменению)
Так как движение является понятием относительным (зависит от выбора системы отсчета), то тело движущееся с постоянной скоростью в одной системе может двигаться ускоренно относительно другой системы.
Система (группа систем) в которой выполняется первый закон Ньютона – инерциальная система отсчета.
Системы движущиеся с постоянной относительно друг друга скоростью – инерциальные.
Система в которой первый закон Ньютона не выполняется (скорость тела изменяется без действия других тел) - неинерциальная система отсчета.

Законы Ньютона
Для количественного описания процесса взаимодействия тел вводятся следующие понятия:
Сила (F)– векторная физическая величина являющаяся мерой воздействия (способности изменять положение, скорость, форму и т.д.) на данное тело со стороны других тел. Измеряется в ньютонах [Н].
Подчиняется принципу суперпозиции: результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.
Масса (m) - мера инертности тела (, а так же определяет гравитационные свойства). Измеряется в килограммах [кг].
Инертность – способность тела оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения в отсутствие внешних воздействий, а также препятствовать изменению своей скорости при наличии внешних сил.
Экспериментально установлено и постулировано
Второй закон Ньютона: в инерциальной системе отсчета ускорение всякого тела прямо пропорционально результирующей силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела.
причина
следствие
Третий закон Ньютона: всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, всегда равны по величине и противоположны по направлению.
Силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел.
Магдебургские полушария (1654 г.)

Принцип относительности Галилея
Рассмотрим две системы отсчета K и K, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью υ. Пусть система K неподвижна, а система K′ движется вдоль оси x. Рассмотрим движение точки P, если в начальный момент времени начала координат систем совпадали:
Связь между скоростями
Связь между координатами
Связь между ускорениями
Связь между силами
Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Следовательно, уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. инвариантны по отношению к преобразованию координат, соответствующему переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Принцип относительности Галилея: все механические явления в различных инерциальных системах отсчет протекают одинокого, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется прямолинейно и равномерно.
Принцип Галилея является частным случаем Принципа относительности (А. Эйнштейна) - фундаментальный физический принцип, один из принципов симметрии, согласно которому ВСЕ физические процессы в инерциальных системах отсчёта протекают одинаково, независимо от того, неподвижна ли система или она находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения.
Законы Ньютона + Принцип Галилея = Классическая механика

Импульс. Закон сохранения импульса.
Считая массу тела m постоянной, второй закон Ньютона можно представить в виде:
Действие силы F приводит к изменению со временем некоторой величины mυ, которая называется импульсом p:
Импульс - векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы этого тела на его скорость, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости.
Второй закон можно переписать в виде
и сформулировать следующим образом: Производная импульса материальной точки по времени равна результирующей всех сил, действующих на точку.
Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек. Тела могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащим данной системе. Силы можно разделить на внутренние и внешние. Если внешних взаимодействий/сил нет, то система называется замкнутой.
Импульсом системы называется векторная сумма импульсов тел, образующих систему:
Рассмотрим систему из трех тел. Учитывая силы внутреннего взаимодействия между телами fij (с учетом третьего з-на Ньютона) и внешнего воздействия Fi, для каждого тела можно записать второй закон Ньютона:
Закон сохранения импульса - векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю.

Работа. Мощность.
Действие силы может приводить к изменению положения или деформации тела.
Работа – скалярная величина, количественная мера действия результирующей силы на тело. Зависит от численной величины и направления силы fs, и от перемещения тела s.
В зависимости от угла α работа может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если скалярная величина получается в результате перемножения двух векторных величин, то взаимосвязь соответсвует скалярному произведению:
Единица измерения работы – джоуль [Дж] – такая работа, которую совершает сила в 1 ньютон на пути в 1 метр.
Такая запись справедлива при условии, что сила fs остается постоянной на всем участке s. Если величина проекции силы fs на направление изменяется, то необходимо разбить путь на малые участки Δs, соответствующие постоянному значению силы fs и перейти к интегрированию.
Часто важен не только результат действия силы (перемещения, деформация), но и интенсивность действия силы (временная характеристика). Вводится величина, показывающая, какую работу данная сила совершает в единицу времени – мощность.
Мощность – скалярная величина, характеризующая интенсивность действия силы и численно равная отношению работы ΔA к промежутку времени Δt, за который она совершена.
Единица измерения мощности – ватт [Вт] – такая мощность, при которой за 1 с совершается работа, равная 1 Дж.
В моей машине 300 свиных сил, и мне это нравится!

Потенциальные силы
Рассмотрим случай, когда в каждой точке пространства на тело действует сила, зависящая от текущей координаты – тело находится в поле сил. Простейший случай – центральное поле сил (поле сил тяжести или шар на пружине). Сила действующая на шар будет завесить только от радиуса r и принимает как положительные, так и отрицательные значения, при переходе положения равновесия r0.
Сила зависит только от положения тела (не зависит от скорости, например). В таком случае работа таких сил над телом не зависит от пути, а определяется только начальным и конечным положением. Поле таких сил называется потенциальным, а силы – консервативными.
Силы, работа которых зависит от пути, по которому тело переходит из одного положения в другое, называются неконсервативными.
Консервативные силы - это силы, работа которых не зависит от вида траектории, точки приложения этих сил и закона их движения, и определяется только начальным и конечным положением этой точки. Интегральное определение: консервативные силы — это такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0.
Пример консервативных сил: сила тяжести, сила упругости, сила кулоновского взаимодействия.
Пример неконсервативных сил: сила трения.

Энергия
При некоторых условиях тела способны совершать работу над другими телами. Величина, характеризующая способность совершать работу – энергия.
Эта способность может быть обусловлена двумя причинами: движением и действием потенциальной силы.
Кинетическая (T) – энергия движения. Потенциальная (U) – энергия положения (взаимодействия).
Энергия - скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Единица измерения – джоулях [Дж].
Кинетическая энергия
Пусть тело 1 массой m1, движется со скоростью υ1 и действует на тело 2. Это приведет к перемещению тела 2 на расстояние ds, как будто подействовала сила F. Получается, что дело 1 совершило работу dA над телом 2:
Очевидно, что в данном случае внешняя сила отсутствовала и работа совершалась за изменения скорости υ1 тела 1. Можно сказать, что тело 1 обладало запасом некоторой величины, которая могла быть переведена в работу. В общем случае эта величина называется энергией E. В данном случае, работа dA равна убыли кинетической энергии dT:
Это равенство свидетельствует о том, что энергия измеряется в тех же величинах, что и работа – джоулях [Дж].
- используя связь работы и энергии
- второй закон Ньютона
- изменение энергии тела 1 связанно с изменением скорости тела υ1.
Исходная величина энергии определялась начальной скоростью тела (состоянием тела).
Величина кинетической энергии может быть только положительной.

Энергия
Потенциальная энергия
Рассмотрим тело, находящееся в потенциальном поле сил. Изменение положения тела связанно с совершением работы, которая, в поле потенциальных сил, зависит только от начального и конечного положения.
Переход из положения 1 в положение 2 связан с совершением работы A12. По аналогии со случаем кинетической энергии, можно предположить, что эта работа так же связанна с изменением некоторой (потенциальной) энергии:
Конкретный вид функции U(r) зависит от характера силового поля (определяется через силу).
Потенциальная энергия – относительная величина, зависит от выбора точки отсчета.
Может принимать отрицательные значения.
Таким образом, каждой точке пространства можно сопоставить некоторое значение функции U(r), зависящей от координат (радиус-вектора).
Потенциальная энергия - мера взаимодействия:
Гравитационное поле + масса
Электрическое поле + электрический заряд
Магнитное поле + движущийся электрический заряд
В поле силы тяжести масса обладает потенциальной энергией:
Потенциальная энергия сжатой пружины:

Полная энергия. Закон сохранения энергии.
В общем случае тело может обладать одновременно и кинетической и потенциальной энергией. Сумма этих энергий образует полную механическую энергию. На примере тела массой m движущегося на высоте h со скоростью υ:
энергия движения
энергия взаимодействия
В результате различных процессов кинетическая энергия может переходить в потенциальную и обратно (маятник, пружина).
Рассматривая бросок предмета вверх, в поле действия силы тяжести, можно отметить, что полная механическая энергия остается постоянной – действует только одна сила, постоянной величины и направления. Наличие добавочных внешних сил приведет к совершению дополнительной работы, что изменяет полную энергию системы.
потенциальная энергия гравитационного поля
потенциальная энергия деформации (межатомного взаимодействия)
Закон сохранения энергии - фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что в изолированной физической системы, в которой действуют только потенциальные силы, полная механическая энергия остается постоянной.
Приращение полной энергии системы тел, между которыми действуют консервативные силы, равно работе внешних сил A′, приложенным к телам системы:
Если внешние силы отсутствуют, то:
Энергия системы складывается из сумм полных механических энергий входящих в систему тел:
энергия взаимодействия i-го тела со всеми остальными телами системы.

Связь между потенциальной энергией и силой.
Тело обладает определенной потенциальной энергией U в каждой точке потенциального поля. Также в этих точках определенно значение силы F, действующей на тело. Очевидно, что между этими величинами должна существовать взаимосвязь.
Рассмотрим работу совершаемую силами поля F по перемещению тела на расстояние Δs.
Работа (A)
Результат действия силы (F)
Результат изменения энергии (U)
Градиент - вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.
Получим значение силы усредненное на участке Δs.
Значение силы в точке.
Можно разложить по компонентам (по проекциям):
Такой оператор называется градиентом
Связь между силой и потенциальной энергией: