Квантовая физика твердого тела

Квантовые статистики
Для описания системы большого
числа частиц используют:
а) классическую статистику
Максвелла-Больцмана;
б) квантовую статистику
Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.

Состояние системы тождественных
(неразличимых) частиц в квантовой
механике описывают симметричными ( не изменяют знака при перестановке
и антисимметричными (изменяют знак) функциями.
Вид полной волновой функции зависит
от проекции спина частицы на нап-
равление и не изменяется при
любых внешних воздействиях.

Различают:
1.Фермионы – частицы с нечетным
полуцелым спином ( ,
ядра с нечетным числом фермионов).
Систему тождественных фермионов
описывают антисимметричной
волновой функцией (статистика
Ферми - Дирака).

2. Бозоны – частицы, у которых
спин 0 или четный полуцелый
(фотон, -мезоны, ядра с четным
числом фермионов).
Система тождественных бозонов
описывается симметричной
волновой функцией (статистика
Бозе - Эйнштейна).

Функция заполнения ячеек фазового
пространства ( )
или средняя заселенность частицами
состояний с данной энергией - химический потенциал,
- постоянная Больцмана,
- термодинамическая температура.
Для системы тождественных фермионов
Для системы тождественных бозонов

При
квантовые распределения
Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна переходят
в классическое распределение Максвелла-
Больцмана.
Систему частиц называют вырожденной,
если ее свойства не могут быть описаны
классической статистикой.
Температура вырождения
концентрация частиц,
масса частицы.
где

Электронный газ в металле всегда вырожден
электронный газ в полупроводниках
не вырожден при
фотонный газ вырожден при любой
температуре.
Следовательно, для получения формулы
Планка нужно использовать
Статистику Бозе – Эйнштейна.

Типы кристаллических структур
В расположении частиц в кристаллах – дальний порядок.
Узлы кристаллической решетки – средние положения, у которых частицы совершают колебания.
Пространственные решетки (14 реше-ток Браве) различаются видами переносной симметрии.

Типы кристаллов
1. Ионные – гранецентрированные или объемно центрированные решетки, вставленные одна в другую; ионная (гетерополярная) связь
2. Атомные – в узлах нейтральные атомы удерживаются ковалентны-ми (гомеополярными) связями

3. Металлические
– в узлах решетки положитель-ные ионы металла, свободные электроны обеспечивают хорошую электропроводность
4. Молекулярные–в узлах решетки нейтральные молекулы, связан-ные ван-дер-ваальсовыми силами (парафин, лед, )

Теплоемкость твердых тел
Определяется энергией тепловых коле-
баний частиц в узлах кристаллической
решетки.
Молярная теплоемкость с атомной
кристаллической решеткой
не зависит от температуры – закон
Дюлонга – Пти.
Выводы теории и эксперимента
не совпадают!

Теория Эйнштейна
Кристалл - система N независимых
квантовых гармонических осцилляторов.
Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы осциллятора
нулевая энергия
Внутренняя энергия одного моля

Молярная теплоемкость
Обозначим
- характеристическая
температура Эйнштейна.
Нулевая молярная внутренняя энергия

3R
2R
R
0
100 200 300
T,K
CV
При
(область высоких
температур)
При
(область низких температур)
Ag
Cu

Теория Дебая
Кристалл – система сильно связанных,
N частиц, имеет широкий спектр частот колебаний.
В кристалле распространяются упругие
волны, имеющие квантовые свойства.
Квант энергии упругой волны с частотой
- это квазичастица фонон.
энергия и импульс
фонона,
скорость распространения упругой
(звуковой) волны.

Спин фонона равен нулю (статистика
Бозе - Эйнштейна), химический потенциал
для фононного газа (фононы
испускаются и поглощаются, но их
число не постоянно).
Внутренняя энергия кристалла (энергия
фононного газа)
где
верхняя граница частот
фононов.

Характеристическая температура Дебая
Область высоких температур
Область низких температур
Молярная теплоемкость
-предельный закон Дебая.

Зонная теория твердых тел
Твердое тело - периодическая структура,
электроны находятся в электрическом
поле положительных ионов.
Уравнение Шредингера для системы мно-
жества частиц решают в приближении:
а) сильной связи - валентные электроны переходят от одного атома к другому при их сближении на расстояния порядка размеров атома;
б) слабой связи – свободные электроны
движутся в периодическом поле кристал-
лической решетки.

Энергетические спектры изолированного атома - дискретны, их энергия зависит от
В газах расстояние между атомами
0
Потенциальный барьер
для валентных электро-
нов широкий, вероят-
ность просачивания
сквозь него равна нулю,
в газе нет свободных
электронов.
Без внешних воздействий газ-диэлектрик.

В кристалле , электрические
поля перекрываются.
Потенциальные
кривые накладываются, потенциальный
барьер снижается, электрон переходит
к соседнему атому
(туннельный эффект).
0

Энергетический уровень валентного элек-трона изолированного атома в кристалле расширяется, образуя широкую полосу – зону разрешенных значений энергии (~ эВ)
разрешен-
ные зоны
запрещен-
ные зоны
разре-
шенные
зоны
гибридная
зона
Зона проводимости заполнена
электронами при Т=0К частично
или свободна.
Валентная зона заполнена электронами
при Т=0К полностью.

Электрические свойства твердых тел
согласно зонной теории:
ВЗ
заполнена
частично
ЗП
ЗП
ВЗ
перекрыты
ЗП
ЗП
ВЗ
ВЗ
металл (проводник)
полупро-
водник
диэлект-
рик
Ширина запрещенной зоны:

Проводимость полупроводников
1.Собственная проводимость (чистые П/П)
_
При Т=0К и Е=0 чистый полупроводник –
диэлектрик.
При Т>0 и Е>0 дырки движутся по полю,
электроны – против поля.
ЗП
ВЗ

Носители тока – электроны и дырки,
их концентрации одинаковы.
Уровень Ферми расположен в середи-
не запрещенной зоны.
- энергия возбуждения электронов и
дырок в собственном П/П.
Удельная проводимость собственных П/П
где постоянна для данного П/П.
энергия активации (ширина запре-
щенной зоны.

2. Примесная проводимость П/П
Основные носители – электроны в зоне
проводимости, положительные заряды
локализуются на неподвижных атомах
мышьяка, в проводимости не участвуют,
неосновные - дырки в валентной зоне.
донорный
уровень
ЗП
ВЗ

2. Примесная проводимость П/П
акцептор-
ный
уровень
Основные носители – дырки в валентной зоне, избыточный отрицательный заряд связан с атомом индия и по решетке не перемешается, неосновные - электроны в зоне проводимости.
ЗП
ВЗ

Запирающий слой при контакте полупроводников p- и n-типов

Вольт-амперная характеристика кремниевого диода.
Использованы различные шкалы для поло-жительных и отрицательных напряжений