Динамика точки. Лекция 4

1. Основные теоремы динамики точки
Основные теоремы динамики:
Теорема об изменении количества движения материальной точки
Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

2. Теорема об изменении количества движения
равно
Элементарное изменение
количества движения
материальной точки
элементарному импульсу силы, приложенной к точке.
Tеорема в дифферен-циальной форме
Изменение количества
движения за конечный
промежуток времени
импульсу силы, прило-женной к точке, за тот же промежуток времени.
равно
Tеорема в интегральной форме
Координатная запись

3. Первые интегралы
Случай 1
При отсутствии силы свободная материальная точка движется равномерно и прямолинейно
Случай 2
Траекторией точки будет плоская кривая, лежащая в плоскости, параллельной оси z, т. е. линии действия силы.
Ур-ие плоскости, параллельной оси z
Случай 3
Проекция скорости точки на ось, перпендикулярную к силе, остается величиной
постоянной.

4. Первые интегралы
В общем случае при вычислении импульса нужно знать , т.е. решение уравнений движения.
Но если известно общее решение, то использование теоремы об изменении количества движения для нахождения первых интегралов теряет смысл
Однако если действующая сила постоянна (F = const) или зависит
только от времени, т. е. F = F(t), то интеграл вычисляется и теорема дает один векторный или, в проекциях на оси координат, три скалярных первых интеграла уравнений движения точки.
Пример использования: Определить промежуток времени Т, необходимый для того, чтобы материальная точка веса Р, движущаяся по горизонтальной прямой под действием постоянной силы F, увеличила свою начальную скорость v0 в n раз.

5. Теорема об изменении момента количества движения
Момент количества движения точки M относительно точки О равен
момент количества движения материальной точки относительно центра (точки О)
момент силы, приложенной к точке, относительно центра

6. Теорема об изменении момента количества движения
Теорема об изменении момента количества движения в проекциях на оси:
Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке, относительно той же самой оси.

7. Первые интегралы в случае центральной силы
Это возможно или когда сила F = 0, или же тогда, когда линия действия силы все время проходит через одну и ту же точку О. Такая сила называется центральной силой, а точка О, через которую проходит линия действия силы, — центром силы.
три скалярных первых интеграла
векторный первый интеграла
уравнений движения

Так как вектор перпендикулярный к плоскости,
проходящей через векторы r и v, имеет постоянное направление, то векторы r и v должны все время лежать в одной плоскости, проходящей через центр О.
8. Следствие 1
Траектория точки, движущейся под действием центральной силы, есть плоская кривая.
уравнение плоскости
Алгебра
Геометрия

Секторная скорость характеризует скорость изменения площади поверхности, описываемой радиус вектором
9. Следствие 2
секторная скорость
2-ой закон Кеплера: линия, соединяющая планету с Солнцем заметет равные площади за равные времена
Афелий
Перигелий
Закон площадей: площади, описываемые радиусом-вектором, пропорциональны временам.

10. Теорема об изменении кинетической энергии
Скалярная величина T, равная половине произведения массы точки
на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией точки
Величина W, равная скалярному произведению силы
на скорость точки ее приложения, называется мощностью.
Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности
В СИ мощность измеряется в ваттах (1 вт = 1 н м/сек).
В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила = 736 вт.

11. Работа силы
Представление работы в виде криволинейного интеграла 1-го рода
Элементарная работа
Представление работы в виде криволинейного интеграла 2-го рода
Единицы измерения в СИ -джоуль

12. Теорема об изменении КЭ в терминах работы
Связь между работой и мощностью
мощность равна работе, совершаемой в единицу времени
дифференциальная форма теоремы
Дифференциал кинетической энергии материальной точки
равен элементарной работе, действующей на точку силы.
интегральная форма теоремы
Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно работе действующей силы на том же перемещении.
В общем случае при вычислении работы нужно иметь решение уравнений движения.
Если сила F зависит только от x и траектория M1M2 известна то работа вычисляется по формуле (1) и при этом не нужно знать полностью закон движения

13. Пример 1: постоянная сила
Для силы тяжести имеем
+ если М опускается
- если М поднимается
В данном случае совершаемая работа не зависит от траектории точки, а зависит лишь от начального и конечного положений. При этом теорема об изменении кинетической энергии дает первый интеграл
ось z направлена вверх

14. Пример 2
В общем случае работа силы зависит не только от начального и конечного положений точки приложения силы, но также и от пути, по которому эта точка перемещается.

15. Задачи, решаемые с помощью Т. об изменении энергии
С помощью теоремы об изменении кинетической энергии можно решать следующие две основные задачи.
1) определение скорости материальной точки в конце или начале движения. Решение этой задачи имеет смысл в том случае, если работу всех сил, приложенных к материальной точке, можно вычислить, не зная закона движения, т. е. не интегрируя уравнения движения.
2) вычисление работы силы по заданной скорости.
Использование теоремы для решения задач такого рода особенно полезно в тех случаях, когда трудности, связанные с определением закона движения и вычислением интеграла работы сравнительно велики.