Динамика вязкой жидкости

Простейшие примеры течений вязкой жидкости
u0
I. Движение жидкости между движущимися плоскостями
x
y
ux=u(y,t)
Течение стационарно, одномерно и зависит только от y
Проекция уравнения Навье -Стокса на ось х
Проекция уравнения Навье-Стокса на ось y
Уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно ( проверить)
h
0

Граничные условия:
u=u0 при y=h a=u0 /h
u=0 при y=0 b=0
Решение:
Распределение скоростей между пластинами линейно
Сила трения, действующая на пластины
u0
x
τyx
-τyx
y
I. Движение жидкости между движущимися плоскостями (продолжение)
Суммарная сила на жидкость =0

II. Движение жидкости между неподвижными плоскостями
x
y
ux=u(y,t)
h
0
Жидкость течет за счет силы - градиента давления dp/dx
Течение стационарно и одномерно, т.е. uy =0
ux=u(y,t)
Уравнение Навье Стокса на ось x :
Уравнение Навье Стокса на ось y :
p=p(x)
Левая часть ур. зависит только от y, а правая – только от x
Это выполняется только если dp/dx= const !

Граничные условия:
u x=0 при y=0, y=h
b=0
Решение с учетом гран. условий
Течение имеет параболический профиль
Средняя скорость
Сила, действующая на плоскость
II. Движение жидкости между неподвижными плоскостями (продолжение)
Сила, действующая на плоскости не зависит от вязкости !? Как это объяснить?

III. Течение вязкой жидкости по трубе
Δp
Течение направлено и однородно вдоль трубы – оси x u зависит лишь от радиуса.
x
z
u x = u (r)
y
Проекция уравнения Н-С на ось x
Проекция уравнения Н-С на ось y
P не зависит от y
Проекция уравнения Н-С на ось z
P не зависит от z
dp/dx=const=-Δp/l
2R

III а. Течение вязкой жидкости по трубе кругового сечения
Скорость конечна во всем сечении трубы, поэтому a=0
Гран. Условие при r=R : ux=0
Расход жидкости – масса жидкости, протекающая в единицу времени через сечение трубы
В полярных координатах: r, θ, x
Решение
Формула Пуазейля

III б. Течение вязкой жидкости по трубе эллиптического сечения
Труба эллиптического сечения
y
z
Общее решение
Решение должно удовлетворять гран. условию: u=0 на эллипсе, т.е.
При b или a ∞ переходим к случаю 2-х // плоскостей

Предельный переход от трубы эллиптического сечения к параллельным плоскостям (b>>a)
Было решение для двух плоскостей
y
ux=u(y,t)
h
0
y’
h/2

Уравнение Навье –Стокса с потенциальными силами
Стационарное течение жидкости
Умножаем скалярно на элемент линии тока, dr // u
u