Энергетические методы расчёта упругих систем

1.ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ
ДЕФОРМАЦИИ СТЕРЖНЯ
1.1 РАСТЯЖЕНИЕ ( СЖАТИЕ ) СТЕРЖНЯ
Рис.а
Рис. б.

1.2 КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ
а)
Аналогично (1)
(2)
1.3 ИЗГИБ
б)
1.3.1 ПЛОСКИЙ ЧИСТЫЙ ИЗГИБ
Аналогично (2)
Рис. а.
Рис. б.
(3)

1.3.2 ПЛОСКИЙ ИЗГИБ
Mz(x) ≠ const.
Соотношение (3) применимо к участку длинной dx
Вклад в потенциальную энергию упругой деформации вносит поперечная сила Qy
где ky – коэффициент формы поперечного сечения балки.
В случае сложного изгиба с кручением и растяжением-сжатием

2. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СИСТЕМЫ. ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Приложен момент М0
затем – сила F
(положение 1).
(положение 2).
Обобщённые силы
P1 = M0, P2 = F,
Обобщённые перемещения
f1 = φB f2 = vB
f1 =f11 + f12,
f2 = f21 + f22,
f11 и f12 – перемещения в первом направлении
под действием сил P1 и P2,(второй индекс);
f21 и f22 – перемещения во втором направлении ( первый индекс)
под действием сил P1 и P2.(второй индекс ).
(первый индекс)

Коэффициенты податливости
,
,
,
.
При действии n обобщённых сил (закон Гука для перемещений) Далее будет доказано:
.

Работа внешних сил не зависит от порядка их приложения
(1)
(2)
Рис.1
3.ТЕОРЕМА КЛАЙПЕРОНА

(3)
(4)
Рис.2

(5)
Рис.3
Рис.4

(8)
(9)
(10)
(11)
(7)
(6)

(12)
Теорема Клайперона
(13)
Потенциальная энергия линейной упруго-деформируемой системы равна половине суммы произведений обобщенных сил на соответствующие обобщенные перемещения

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
y
(6)
Пример Р характеризует систему взаимно уравновешенных сил:
(7)
4.Обобщенные силы и обобщенные перемещения
y

В качестве обобщенной силы может быть принят любой параметр, характеризующий уравновешенную группу сил; при этом обобщенным перемещением надлежит считать другой множитель (см. (6)), входящий в выражение для работы (потенциальной энергии)
Обобщенная сила P=F следовательно обобщенное перемещение,
т.е. сближение точек приложения сил F.

(8)
(9)
(10)
(11)
(12)

Если
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
5.ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА

(7)
(8)
(9)
Теорема Л. Лагранжа:
Обобщенная сила равна частной производной от потенциальной энергии упругой деформации системы по соответствующему обобщенному перемещению.

ТЕОРЕМА КАСТИЛЬЯНО
.
Вертикальная заштрихованная полоса иллюстрирует приращения работы (приращения потенциальной энергии)
Работа (потенциальная энергия)
(1)
(2)
(3)

Вводится понятие приращения дополнительной работы (дополнительной энергии)
горизонтальная заштрихованная полоса ( рис. а.) - дополнительная работа (дополнительная энергия)
См. рисунок
(4)
(5)
(6)

Если на упругую систему действуют n сил, то полный дифференциал дополнительной потенциальной энергии принимает вид
(4), (8) ⟹
частная производная от дополнительной энергии U* по обобщённой силе Pi равна обобщённому перемещению fi, соответствующему этой силе
(7)
(8)
(9)
Если dPi ≠ 0, а все остальные приращения сил равны нулю

Для линейных систем
.
Частная производная от потенциальной энергии упругой деформации U по обобщённой силе Pi равна соответствующему обобщённому перемещению fi.
(9),(10)⟹
(10)
(11)

В случае плоского изгиба
Величины Pi и x взаимно независимы, операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами
Множитель dx/2EIz не зависит от силы Pi
(12)
(13)
(14)

Дифференцирование сложной функции
Для изгиба с кручением, растяжением-сжатием и сдвигом по аналогии
(15)
(16)
(17)

a)
Рис. а. Определить вертикальное перемещение yB сечения В.
Сила F и перемещение yB образуют комбинацию обобщённая сила – обобщённое перемещение.
EIz = const.
(18)
F

a
a

a
a
Две системы:

++
_

б)
Рис. б. Определить угол поворота φВ сечения В.
М0 и φВ представляют собой комбинацию обобщённая сила – обобщённое перемещение. Обобщённая сила – это параметр, характеризующий уравновешенную группу сил, следует выразить реакции через М0 из уравнений равновесия
(19)
(20)

Реакции, эпюра изгибающего момента, примерный вид изогнутой оси, вертикальное смещение vC, и угол φС - ?
Из уравнений равновесия:
Рис. б. Эпюра изгибающих моментов.
Рис. в. Примерный вид изогнутой оси рамы с указанием vC и φС.
Приложим в узле С вертикальную добавочную силу F∂=0. Нулевая сила не влияет на напряжённо-деформированное состояние рамы. С vC образует комбинацию обобщённая сила – обобщённое перемещение.

По теореме Кастильяно:
Приложим в узле С добавочный момент М∂ = 0. Он образует с углом φC комбинацию обобщённая сила – обобщённое перемещение
(21)
(22)
(23)

По теореме Кастильяно:
(24)
(25)
(26)

f - ?

(1)
(2)
Правило знаков для изгибающих моментов: если силовой фактор увеличивает кривизну, то момент считается положительным, если уменьшает, то – отрицательным.

(3)
Для вычисления вертикальных перемещений приложим добавочную силу Fg , соответствующую fy .
(4)
(5)

(8)
(9)
(6)
(7)

Эквивалентно
(1)
7.Формула Максвелла-Мора
(15')

(2)
Дж. Максвелл и О. Мор
(3)
(4)

3
(4)
(3)
(4)
(3)
(3)

(5)

(6)

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

2.ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СИСТЕМЫ.
ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
F
Рис. а. Схема «больших» перемещений при изгибе стержня, когда, во-первых, прогиб vC соизмерим с длиной l, во-вторых, нельзя пренебречь укорочением проекции изогнутого стержня на его первоначальное положение. Здесь говорят о геометрической нелинейности системы, хотя материал следует закону Гука.
Такие системы в курсе не рассматриваются.
Рис. б. Консольная балка. Сначала прикладывается момент М0 (положение 1), затем – сила F (положение 2). Введём обозначения для обобщённых сил и обобщённых перемещений
x