ИГЭС2 семестр Колебания лекция 1

ЛЕКЦИЯ 1
ФИЗИКА
КОЛЕБАНИЙ
*

*

*
Механические колебания
Колебательные процессы весьма часто встречаются в окружающей нас природе и технике. Значительная часть механических движений – движение машин, работающих циклически; почти все акустические явления; переменный ток, применяющийся в быту и в разнообразных технических устройствах, биение сердца, колебания атомов, смена времен года, дня и ночи.

*

Колебания (колебательные движения)- изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.
КОЛЕБАНИЯ
Колебания могут иметь различную физическую природу, но иметь общие закономерности и описываться однотипными математическими методами.
Колебания различают:
по характеру физических процессов
по характеру зависимости от времени.

По характеру физических процессов:
Электромагнитные
колебания переменного электрического поля в цепи, колебания векторов Е и В
Механические
колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, сооружений, волнение жидкостей
Электромеханические
колебания мембраны телефона, диффузора электродинамика
По характеру зависимости от времени:
Периодические
Непериодические

По способу возбуждения колебаний:
Свободные
Вынужденные
Параметрические
Автоколебания
Система, совершающая колебания, называется колебательной системой.

Свободные (или собственные) — это колебания в системе не подверженных действию переменных внешних сил, под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях из-за трения свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.

Условия возникновения свободных колебаний
1. Колебательная система должна иметь положение устойчивого равновесия.
2. При выведении системы из положения равновесия должна возникать равнодействующая сила, возвращающая систему в исходное положение
3. Силы трения (сопротивления) очень малы.

*
Параметрические — колебания, возникаю-щие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.
Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты
осциллятора и частоты внешнего воздействия.

*
Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от вынужденных колебаний является то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

*
Колебания - периодические, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени

Периодические процессы можно представить как наложение гармонических колебаний.
Фурье установил, что любое периодическое негармоническое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний.

*
Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

*
Простейшей моделью гармонического колебания является колебание проекции x конца радиуса-вектора r точки, движущейся по окружности радиусом A с постоянной угловой скоростью ω0. Такое представление гармонических колебаний называют векторной диаграммой.

Угол поворота изменяется по закону равномерного вращения: φ = w0t + a. Проекция же конца радиуса-вектора точки изменяется по закону
x = A cos(w0t + α).

Если некоторая материальная точка совершает гармоническое колебательное движение около положения равновесия вдоль некоторой оси x (гармонический осциллятор), то ее координата меняется по закону:
x = A cos(ω0t + φ0), где x –смещение из положения равновесия, A – амплитуда колебаний, φ0- начальная фаза, ω- циклическая частота.
*

Характеристики колебательного движения
1. Амплитуда
2. Период
3. Частота
*

Период колебаний - (Т) наименьший промежуток времени, через который повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебательное движение. Период измеряется в секундах.
Частота периодических колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Частота колебаний измеряется в герцах.
Если за какое-то время t система совершает n колебаний, то Т= t/n

*
Амплитуда - Наибольшее (по модулю) отклонение колеблющегося тела от положения равновесия Циклическая ( круговая частота)
– число колебаний за 2π секунд
ω=2πν

Механические гармонические колебания
Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса
или косинуса

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.
Рассмотрим прямолинейные гармоничес-кие колебания материальной точки вдоль оси х около положения равновесия, совпадающего с началом координат х = 0.
Зависимость координаты х от времени t задается уравнением

Кинематика колебаний
Циклическая частота связана с линейной частотой и периодом следующими соотношениями
*

Скорость колеблющейся точки меняется по закону:

Ускорение:

*

Сила, вызывающая колебания, обладает следующими свойствами
2. модуль силы пропорционален смещению материальной точки из положения равновесия;
1. направления силы и смещения противоположны.
Динамика колебаний
Сила, действующая на точку массой m:

Такие силы называют возвращающими.
Зависимость характерна для упругой силы. F = -kx
Следовательно, сила всегда направлена к положению равновесия.
Силы другой физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называют квазиупругими. Например, сила тяжести.

*

ЭНЕРГИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F:

Полная энергия:
где

*

Гармонический осциллятор
Осциллятор – система, совершающая свободные колебания.
Классический осциллятор – механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия (например, пружинный маятник).
Свободные (собственные) колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешнего воздействия на
колебательную систему.

Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора
Решение этого уравнения:
Здесь x – колеблющаяся величина.

Маятники
Маятник- тело, совершающее колебания относительно положения равновесия под действием приложенных к нему сил.
Пружинный маятник
физический маятник
математический маятник
оборотный маятник
*

Пружинный маятник
это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в вертикальном или горизонтальном или направлении.
Трением пренебрегаем. Груз имеет массу m , жёсткость пружины равна k . Координате x=0 отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована..
*

*
Рассмотрим простейшую колебательную систему: шарик массой m подвешен на пружине жесткостью к. В этом случае упругая сила F1 уравновешивает силу тяжести mg.

*
Изменение упругой силы по закону Гука пропорционально изменению длины пружины или смещению шарика х: F=-kx,(1)
где k — жесткость пружины. Знак "-" отражает то обстоятельство, что смещение и сила имеют противоположные направления.
Сила F обладает следующими свойствами: 1) она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия; 2) она всегда направлена к положению равновесия.
В нашем примере сила по своей природе упругая

*
Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид:
Введем обозначения
Тогда
Решение уравнения имеет вид

*
где (w0 t + a0 ) = a — фаза колебаний; a0 — начальная фаза при t = 0; w0 — круговая частота колебаний; A — их амплитуда.

Решив данное уравнение, получим, что пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону
x = A cos(ω0t + φ0),
с циклической частотой
и периодом колебания
Эти формулы справедливы для упругих колебаний в пределах, в которых выполняет­ся закон Гука, т. е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела

*
В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:
Если груз смещен вправо то сила упругости направлена в противоположную сторону, и закон Гука можно записать так:

Физический маятник
Твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс тела С. Точку О называют точкой подвеса.
Если маятник отклонен из
положения равновесия на
некоторый угол a, то в
соот­ветствии с уравнением
динамики вращательного движения твердого
.

тела момент M возвращающей силы можно записать в виде (1)
где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника
Ft = –mg sina (знак минус обусловлен тем, что направления Ft и a всегда противоположны)
Уравнение (1) можно записать в виде
или
принимая получим

*
решение которого :
При малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с периодом
где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.
Точка О' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется центром качаний физического маятника.

J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.
Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

*
Применяя теорему Штейнера, получим
т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физичес­кого маятника не изменится.

Математический маятник
Идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити (масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела), и совершающей колебания под действием силы тяжести.

Сложение гармонических колебаний
Способ представления колебаний с помощью вращающегося вектора амплитуды

Сложение двух одинаково направленных колебаний
1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Разность фаз этих колебаний не зависит от времени t, т.е. (φ1 – φ2) = const, такие колебания называются когерентными

Для нахождения результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм.

Если колебания синфазны: φ2 – φ1 = ±2mπ, следовательно, А = А1 + А2, происходит усиление результирующего колебания.
Если колебания в противофазе: φ2 – φ1 = ±(2m +1)π, следовательно, А = |А1 – А2|, происходит ослабление результирующего колебания.
Некогерентные колебания: ω1 ≠ ω2, т.е. разность фаз колебаний
(ω1 + φ1 – ω2 – φ2) ≠ const и изменяется с течением времени t.
При наложении таких колебаний получаются негармоническое результирующее колебание.

2. Сложение гармонических колебаний одного направления с частотами неравными, но близкими - биения
Если амплитуды двух гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой, одинаковы А1 = А2 = А, а их частоты мало отличаются друг от друга Δω = ω2 – ω1 << ω1, то результирующее сложение этих колебаний получается с периодически изменяющейся амплитудой Аб.
Уравнения колебаний имеют вид :

*
Периодические изменения амплитуды от минимального значения до максимального называются биениями.
Уравнение результирующего колебания

*
Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда Аб которого изменяется по периодическому закону:
Частота изменения Аб в два раза больше частоты изменения косинуса (т.к. берется по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:
Период биений

*

Гармонические колебания совпадают по направлению и имеют кратные циклические частоты ω, 2ω, 3ω и т.д. В результате их сложения получаются периодические негармонические колебания с периодом Т = 2π ∕ ω.
В свою очередь, любое сложное периодическое колебание S = f(t) можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте ω0 = 2π ∕ Т, где Т – период колебаний:

*
Такое представление периодической функции f(t) называется разложением функции в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.
Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами ω0, 2ω0, 3ω0 … называются первой (основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания S = f(t).
Совокупность этих гармоник образуют спектр колебаний S = f(t).
В простейших случаях спектр может состоять из небольшого числа гармоник.
Часто под спектром колебаний понимают спектр (совокупность) его частот.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Сложение колебаний с одинаковыми частотами (ω1 :ω2=1:1 )
Пусть точка одновременно движется вдоль осей x и y:

Рассмотрим несколько частных случаев:
1) Фазы колебаний равны.
x = A1 sin ωt;
y = A2 sin ωt.
или

Такие колебания называют линейно-поляризованными.

2) Разность фаз равна π.
x = A1 sin (ωt + π) = - A1 sin ωt;
y = A2 sin ωt.
или

В обоих случаях амплитуда результирующего колебания равна:

3) Разность фаз равна π/2.

Такие колебания называют эллиптически поляризованными.

*

Если частоты складываемых колебаний относятся друг к другу как целые числа, то траектория результирующего движения оказывается замкнутой, а само движение – периодическим.
Прочерчиваемые точкой замкнутые траектории, образующиеся при целочисленных отношениях частот складываемых взаимно-перпендикулярных колебаний называют фигурами Лиссажу.
Сложение колебаний с разными частотами
Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний.

*

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной, или определить отношение частот складываемых колебаний.
Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигуры Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат.

*
Фигуры Лиссажу при

Затухающие колебания
Затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.
Свободные колебания реальной системы всегда затухают. Причиной затухания механических колебаний является трение, электрических колебаний – тепловые потери в проводниках.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем.
Обычно рассматриваются линейные системы – идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются.

*
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы:
х – колеблющаяся величина,
β = const – коэффициент затухания,
ω0 – собственная циклическая частота колебательной системы (т.е. в отсутствие потерь энергии, β = 0).
Решение уравнения в виде

*
График этой функции дан на рисунке.

Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы, сила трения пропорциональна скорости:
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:
r- коэффициент сопротивления.

Амплитуда затухающих колебаний:
Это отношение называют декрементом затухания .
В качестве меры затухания часто берут величину натурального логарифма

Затухающее колебание не является периодическим, и тем более гармоническим.

Вынужденные колебания
Вынужденные колебания – незатухающие колебания, возникающие под действием периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону:
Для механических колебаний роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

Для простейшего пружинного маятника, на который действует внешняя сила Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний маятника:
:

В установившемся режиме вынужденные колебания являются гармоническими, происходят с частотой внешней гармонической силы.

В случае установившихся колебаний при некоторой частоте внешней силы – резонансной частоте ωрез – амплитуда смещения достигает максимального значения:
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется механическим резонансом.