Лекция 7. Расчет статически неопределимых систем методом сил

1. Понятие о статически неопределимых системах
Статически неопределимой называется система, внутренние усилия которой нельзя определить только из уравнений статики.
Статически неопределимые системы (СНС) отличаются от статически определимых рядом свойств:
− они надежнее;
− выдерживают бо’льшую нагрузку;
− у них деформации меньше;
− изменение температуры, смещение опор, неточность изготовле-ния элементов вызывают дополнительные усилия;
− внутренние усилия зависят от физических и геометрических характеристик элементов.
У СНС есть «лишние» связи. Число лишних связей называется степенью статической неопределимости.
Степень статической неопределимости n простой системы определяется из дискового аналога по формуле
Степень статической неопределимости фермы определяется по формуле

Получим другую формулу. Для этого введем два понятия:
замкнутый контур – замкнутая цепь из элементов и связей;
удалённая связь – связь замкнутого контура, исключенная из жесткого соединения элементов.
Степень статической неопределимости сплошного замкнутого контура равна трем. Поэтому степень статической неопределимости системы из nк замкнутых контуров, из которых удалены nуд связей, будет
n=3nк – nуд .
Для балки:
n=3⋅2–5=1
Для рамы:
n=3⋅2–4=2.

Расчет статически неопределимой системы начинается с превращения ее в статически определимую. Для этого необходимо исключить лишние связи и заменить их реакции неизвестными силами. Полученная система называется основной системой (ОС) .
Способов исключения лишних связей очень много (теоретически – бесконечное число). Например, лишнюю связь можно исключать как на следующих рисунках. Одна из этих схем ГНС и для дальнейшего расчета непригодна. Все остальные схемы могут быть приняты за ОС.
2. Выбор основной системы
У этой балки, которую будем называть заданной системой (ЗС), степень статической неопределимости n=1. Если исключить лишнюю связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС.

В расчетах линейно-упругих систем используется гипотеза о том, что внешняя нагрузка в элементах заданной системы распределяется единственным образом.
Следовательно, результаты расчетов по различным ОС должны быть одинаковыми.
Однако объем вычислений в разных ОС может быть разным. Поэтому из многих вариантов ОС нужно выбирать наиболее оптимальную.
Например, в нашем примере первый вариант ОС предпочтительнее остальных, т.к. в ней эпюры строятся легче.
Основная система должна быть:
обязательно геометрически неизменяемой;
простой для расчета;
учитывать характерные особенности сооружения и нагрузки.

3. Сущность метода сил
В этом методе за основные неизвестные принимаются силы (внутренние усилия). Поэтому его называют методом сил.
Рассмотрим предыдущую балку и потребуем, чтобы ЗС и ее ОС были эквивалентными. Для этого перемещение в направлении исключенной связи в ОС должно равняться нулю: Δ=0.
Т.к. сила X неизвестна, ΔX определить нельзя. Поэтому рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, где действует только единичная сила P=1.
По принципу суперпозиции, перемещение Δ равно сумме перемещения ΔX от реакции X и перемещения ΔP от заданной силы P :
Δ=ΔX+ΔP=0.
Перемещение δ от единичной силы называется податливостью.
В линейно-упругой системе выполняется условие ΔX =δ X.
Тогда получаем каноническое уравнение метода сил:
δ X+ΔP=0.
Из него определяется неизвестная сила: X= – ΔP /δ .

Если в системе имеется n лишних связей, то они исключаются и выбирается ОС с n неизвестными X1, X2, ..., Xn. Из условий эквивалентности ЗС и ее ОС составляются n уравнений совместности деформаций. При рассмотрении n единичных состояний основной системы эти уравнения приводятся к системе уравнений:
Здесь − главные коэффициенты – боковые коэффициенты, ΔiP − грузовые коэффициенты. Введем матричные обозначения:
− система
канонических
уравнений
метода сил
матр. податливости
Тогда система канонических уравнений примет вид
δ X +ΔP = 0.
Из нее X = – δ–1 ΔP, где δ–1 − обратная матрица податливости.
вект. неизв.
вект. нагр.
нуль-вект.

4. Определение коэффициентов канонических уравнений
Коэффициенты при неизвестных δij и грузовые коэффициенты ΔiP системы канонических уравнений – возможные перемещения от единичных сил и нагрузки. У них есть два индекса. Первый индекс i указывает на направление, а второй индекс j (или P) – на причину.
Рассмотрим условную статически неопределимую систему (ЗС) и ее основную систему (ОС):
ЗС
ОС
Затем рассмотрим два единичных состояния ОС, в которых действуют только единичные силы:
i-е ЕС
j-е ЕС

Если в этих состояниях возникают внутренние усилия
и , то возможная работа сил i-го состояния на дефор-мациях j-го состояния будет
С другой стороны, возможная работа внешних сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна
Wij=1⋅δij=δij .
По принципу возможных перемещений Wij=–Vij. Из их равенства получаем
− формула
вычисления
коэффициентов
при неизвестных

Теорема Максвелла. Перемещение в i-ом направлении от единичной силы в j-ом направлении равна перемещению в j-ом направлении от единичной силы в i-ом направлении, т.е. δij=δji .
Доказательство. Возможную работу сил i-го единичного состояния на перемещениях j-го состояния мы уже определили:
Wij=δij.
А возможная работа сил j-ого состояния на перемещениях i-го состояния равна (см. рис.):
Wji=1⋅δji=δji.
По теореме Бетти Wij=Wji. Следовательно,
δij=δji .
Эта теорема позволяет уменьшать объем вычислений при вычислении боковых коэффициентов системы канонических уравнений.

Выведем формулу вычисления грузовых коэффициентов.
По принципу возможных перемещений WiP=–ViP. Отсюда
− формула вычисления
грузовых коэффициентов
Возможная работа сил ЕС на перемещениях ГС равна:
WiP=1⋅ΔiP=ΔiP .
С другой стороны, возможная работа внутренних сил i-го единичного состояния на деформациях грузового состояния равна:
i-е ЕС
Для этого рассмотрим i-е единичное состояние и грузовое состояние (ГС) основной системы:
ГС