Лекция № 6. Электрическое поле

План лекции
Закон Кулона. Напряжённость электрического поля.
Электростатический потенциал.
Поле точечного диполя
Диполь в поле
Теорема Гаусса. Электрические поля в простейших случаях.

Демонстрации

Определения
Электромагнитное взаимодействие – фундаментальное взаимодействие, которое осуществляется на расстоянии посредством электромагнитного поля.
Электромагнитное поле создаётся электрическими зарядами и действует на заряды
Заряд – мера взаимодействия заряженного тела с полем. Заряды бывают положительные и отрицательные
Носителями заряда являются элементарные частицы – протон (положительный заряд) и электрон (отрицательный заряд).
Элементарный заряд – заряд элементарных частиц
e = 4,803 . 10-10 ед. СГСЭ = 1,601 . 10-19 Кл (СИ)
Суммарный электрический заряд замкнутой системы сохраняется.
Заряд тела, системы тел – релятивистский инвариант: при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой заряд не изменяется.

Электростатика
Электростатика занимается изучением полей неподвижных зарядов.
Неподвижные заряды создают неизменное во времени электростатическое поле.
Точечный заряд – это заряд, размером и формой которого в рассматриваемых условиях можно пренебречь
Пробный заряд – небольшой по величине точечный заряд, который не вызывает перераспределения электрических зарядов в окружающих телах.

Закон Кулона (1875 г)
Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна их величинам q и Q и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними r. Одноимённые заряды отталкиваются; заряды разных знаков притягиваются.
F = Qq/r2
Закон Кулона в векторной форме:
F = Qqr/r3

Напряжённость электрического поля
Напряжённостью электрического поля называется сила, действующий на единичный заряд:
E = F/q, F = qE
Поле точечного заряда Q:
E = Qr/r3
Принцип суперпозиции:
напряжённость электрического поля E нескольких неподвижных точечных зарядов равна векторной сумме напряжённостей полей, которое создавал бы каждый из этих зарядов в отсутствие остальных:
E = ΣEi

Принцип суперпозиции для электростатических полей
Электрическое взаимодействие между двумя зарядами не зависит от присутствия третьего заряда
напряжённость электрического поля E нескольких неподвижных точечных зарядов равна векторной сумме напряжённостей полей, которое создавал бы каждый из этих зарядов в отсутствие остальных:
E = ΣEi

Потенциал электростатического поля
Электростатическое поле потенциально, как всякое стационарное центральное поле ⇨ работа поля не зависит от траектории и равна убыли потенциальной энергии взаимодействия:
dU = -(qQ/r2)dr ⇨
U = qQ/r; U(∞) = 0
Потенциал электрического поля – это потенциальная энергия единичного заряда. Потенциал точечного заряда φ(r) = Q/r
Принцип суперпозиции для потенциала: потенциал поля системы зарядов равен сумме потенциалов полей отдельных зарядов
φ(r) = φ1(r) + φ2(r) + …
Энергия заряда в поле U = qφ

Графическое изображение полей

Как устроены силовые линии.
Направление касательной в каждой точке силовой линии совпадает с вектором E
Силовые линии не пересекаются в пространстве, не содержащих заряды
Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми – это противоречило бы закону сохранения энергии
один конец силовой линии – всегда заряд; другой конец - либо заряд противоположного знака, либо бесконечность.

Поле на оси равномерно заряженного диска
Поле на оси равномерно заряженного диска с поверхностной плотностью σ = Q/πR2 на расстоянии z от поверхности диска
dE = dEz = σcosθρdρdφ/r2 = σdS┴/r2 = σdΩ ⇨
E = σΩ
R >> z (заряженная плоскость) Ω = 2π ⇨ E = 2πσ
Z >> R (точечный заряд) Ω = S/z2 ⇨ E = σS/z2 = Q/z2
В общем случае: dΩ = sinθdθdφ ⇨
Ω = 2π(1 - cos θ) = 2π(1 – z/(z2 + R2)1/2)
E = σΩ = 2πσ(1 – z/(z2 + R2)1/2)

Поле короткой заряженной нити
Заряд равномерно распределён по отрезку прямой нити с линейной плотностью ӕ . Найти E в точке А, расположенной на расстоянии R от провода.

Поле короткого провода
Ey =∫dEy = ∫ӕdlsinα/r2 = ∫ӕdφ/r = ∫ӕcosφdφ/R =
ӕ/R (sinφ1 – sinφ2) = ӕ(cosα1 – cosα2)/R
Ex =∫dEx = ∫ӕdlcosα/r2 = ∫ӕsinφdφ/R=
ӕ/R (cosφ2 – cosφ1) = ӕ(sinα2 – sinα1)/R
Бесконечный провод: α1 = 0; α2 = 1800 ⇨ E = Ey = 2ӕ/R; Ex = 0
Полубесконечный провод: α1 = 0; α2 = 900 ⇨ Ex = Ey = ӕ/R

Электрический диполь
Простейший электрический диполь – эта система равных по величине, но противоположных по знаку двух точечных зарядов –q и +q, сдвинутых друг относительно друга на рассстояние ℓ.
Плечо диполя – это вектор ℓ, проведённый от отрицательного к положительному заряду
Вектор p = qℓ называется дипольным моментом
Диполь называется точечным, если ℓ значительно меньше расстояния r до точки наблюдения: ℓ << r
Диполь называется жёстким, если расстояние между зарядами ℓ неизменно.
Диполь называется упругим, если расстояние между зарядами ℓ меняется под действием внешних сил.

Диполь во внешнем поле
В однородном электрическом поле на диполь действует момент сил M = [ℓ F] = q[ℓ E] = [p E], M = - pE sinθ – в электрическом поле диполь ориентируется вдоль вектора напряжённости E
Энергия точечного диполя: W = qφ(r +ℓ) + qφ(r) =
q (gradφ,ℓ) = - (p,E)
В неоднородном поле на диполь действует сила: Fx = qEx(r + ℓ) - qEx(r) = qℓx∂Ex/∂x + qℓy∂Ex/∂y + qℓz∂Ex/∂z = (p,gradEx) ⇨ F = px∂E/∂x + py∂E/∂y + pz∂E/∂z = (p,grad)E
Диполь выстраивается вдоль поля p ↑↑ E;
Ориентированный вдоль поля диполь втягивается в
область более сильного электрического поля.

Потенциал диполя: (pr)/r3
Поле диполя: E = 3 (pr)r/r5 – p/r3
Потенциал точечного диполя:
φ = φ+ + φ- = q/r1 – q/r2 = q(r2 – r1)/r1r2 =
qℓcosθ/r2 = (pr)/r3
φ = (pr)/r3
Поле точечного диполя:
E = - grad φ = - grad (pr)/r3 = 3 (pr)r/r5 – p/r3
grad(1/r3) = -3r/r5;
grad(pr) = p
grad(r) = r/r

Оператор Гамильтона
(набла-оператор):
grad U =
Приращение
функции:
свойства:
grad(uv) = ugradv + vgradv (“производная произведения”)
gradf(u) = (df/du) gradu (“производная сложной функции”)
Полезные формулы:
grad(p,r) = p
grad r = r/r – (поле единичных векторов)
grad 1/r = (-1/r2) (r/r) = - r/r3

Теорема Гаусса
(интегральная форма)
Поток вектора E сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, умноженной на 4π:
Теорема Гаусса в дифференциальной форме:
divE = 4πρ

Теорема Гаусса
(дифференциальная форма)

Теорема Ирншоу – следствие теоремы Гаусса
Невозможно создать устойчивую систему только из покоящихся точечных кулоновских зарядов.

Применение теоремы Гаусса
Поле заряженной нити:
E.2πr.L = 4πq ⇨E = 2q/Lr = 2ӕ/r
Поле заряженной плоскости:
Ф = Ф1 + Ф2 = EΔS + EΔS = 2EΔS = 4πΔq ⇨ E = 2πΔq/ΔS = 2πσ
Поле равномерно заряженного шара:
Вне шара r > R: E 4πr2 = 4πQ ⇨ E = Q/r2
Внутри шара r < R: E 4πr2 = 4πq(r) = 4πQ(r/R)3 ⇨
E = Qr/R3 = 4/3 πρr
в векторном виде:
E = Qr/r3, r > R
E = Qr/R3 = 4/3 πρr, r < R

Поле равномерно заряженного шара

Связь потенциала с напряжённостью поля
Убыль потенциала равна работе поля:
φ(r) - φ(r + dr) = Edr = Exdx + Eydy + Ezdz ⇨
Ex = -∂φ/∂x; Ey = -∂φ/∂y; Ez = -∂φ/∂z ⇨
E = - gradφ