Лінійні однофазні кола змінного струму

В загальному випадку рівняння миттєвих синусоїдальних електричних величин мають вигляд:
де e, i, u – миттєві значення ЕРС, струму і напруги в даний момент часу t;
Em, Im, Um – їх амплітудні (максимальні за період) значення.
Кутова частота ω – це швидкість зміни змінної величини, де шлях,
пройдений цією змінною, виражений в радіанах:
.
Фазою називається кут (ωt+ψ), що характеризує значення електричної величини в даний момент часу t.
Початковою фазою називається кут ψe, що визначає значення фази синусоїдальної величини в початковий момент часу (t=0). Початкова фаза ψ – це постійний кут, на який синусоїда своїм початком зміщена відносно початку координат ліворуч (ψ > 0) або праворуч (ψ < 0).
,

Зсувом фаз ϕ називається різниця початкових фаз двох будь-яких синусоїдальних величин однієї частоти.
Періодом Т називається час, за який змінна величина здійснить повне коливання.
Частота – число періодів за одиницю часу, ця величина зворотно пропорційна періоду,
виражається у герцах (Гц):
ЗНАЧЕННЯ ЗМІННОГО СТРУМУ
Діючим значенням змінного струму називається середньоквадратичне значення за період.
Для синусоїдального струму діюче значення в разів менше, ніж амплітудне значення:
Isin = Im / ≈ 0.707 Im ,
Esin ≈ 0,707 Em ,
Usin ≈ 0,707 Um .
Постійна складова сигналу – середнє значення за період Т:
Середньовипрямлене значення сигналу за період – середне значення модуля сигналу (використовують лише для сигналів, симетричних відносно вісі часу):

Комплексний метод аналізу і
розрахунку ланцюгів синусоїдального струму
Комплексне число А виражається алгебраїчно у вигляді суми дійсної А' та уявної А" частин, які є координатами точки А на комплексній площині.
А=А'+jА" – алгебраїчна форма
Тригонометрична форма:
А= А (cos α ± j sin α).
Показова форма
Тут А – модуль (довжина) вектору,
e – основа натурального логарифма,
– кут між дійсною віссю і вектором, що зображує комплексне число:
=arctg(A"/A') ,
j – уявна одиниця, поворотний множник.

Множення на j рівносильне повороту вектору на кут 90 градусів проти годинникової стрілки.
Для комплексних чисел застосовують всі основні математичні дії: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до ступеня, витяг коренів.
Додавання і віднімання чисел проводиться тільки в алгебраїчній формі, потрібно скласти (відняти) окремо їхні дійсні і уявні частини.
( A1 + j B1 ) + ( A2 + j B2 ) = ( A1 + A2 ) + j ( B1 + B2 ),
( A1 + j B1 ) - ( A2 + j B2 ) = ( A1 - A2 ) + j ( B1 - B2 ) .
Множення комплексних чисел в алгебраїчній формі проводиться як два біному:
A ∙ B = ( A1 + jA2 ) ∙ ( B1 + jB2 ) = A1∙ B1 - A2∙ B2 + j( A1∙ B2 + A2∙ B1 ) .
Значно простіше проводити множення в показовій формі:
Ділення також можна поводити у двох формах - алгебраїчній та показовій, але значно простіше проводити ділення в показовій формі:

Подання синусоїдальних електричних величин
комплексними числами
Комплексна амплітуда струму і напруги в показовій формі:
, ,
де Im, Um – модулі струму та напруги;
ψi, ψU – початкова фаза для t = 0.
+1
+j
ψi
ψU
При розрахунках зазвичай користуються комплексними діючими струмом і напругою:
,
.

2. Аналіз ланцюгів змінного струму
Ланцюг з активним опором.
u,i р- активна потужність +j і I
u
U R UR і U
ψU = ψi ψU = ψi =0 T t +1
Ланцюг Графік зміни струму й напруги Векторна діаграма
u=Um sin(ωt+ψU)
В ланцюзі змінного струму з активним опором струм змінюється за тим же законом, що й напруга і вони збігаються по фазі (зсув фаз рівний 0).

Ланцюг з індуктивністю
i
- ЕРС самоіндукції
U
В ідеальній котушці прикладена змінна напруга u і ЕРС самоіндукції eL
в будь-який момент часу однакові, але направлені зустрічно, тобто
знаходяться в протифазі.
Напруга пропорційна диференціалу від струму, таким чином, якщо струм рівний
і =Im sinωt ,
то напруга u =Umsin(ωt+90).
uL,eL, i
uL і eL
t
+j
+1
UL
ЕL
І
В ланцюзі з ідеальною індуктивністю вектор струму відстає від вектору напруги на кут 90º.

Діюче значення змінного струму
Отриманий вираз нагадує закон Ома для ланцюга постійного струму.
У цій рівності величина ХL називається індуктивним опором або реактивним опором індуктивності
ХL=2πf L=ωL.
Комплексні напруги і струм зв'язані співвідношенням:
де jXL=jωL називаються комплексним індуктивним опором.
Ланцюг з ємністю
i uc, i i uc
U Uc t
I +1
+j
Uc
Напруга в колі : u=Umsinωt
Струм в колі змінюється за законом:
i = С duc /dt =ωC Um cos ωt= Im cos ωt.

В ланцюзі з ідеальною ємністю вектор струму випереджає вектор напруги на кут 90º або чверть періоду.
Величина Хс називається ємнісним опором або реактивним опором конденсатора.
Комплексні напруга і струм в такому ланцюзі зв'язані співвідношенням:
,
В комплексній формі опір конденсатора
В ланцюзі з ємністю відбувається тільки періодичний обмін енергією без перетворення енергії джерела в теплову або механічну.

3. Послідовне з’єднання елементів R, L, C. Резонанс напруг
Згідно 2 закону Кірхгофа при послідовному з’єднанні елементів мають місце такі співвідношення для миттєвих, діючих значень та комплексів напруг
u = uR + uL + uC ,
U = UR+UL+UC .
.
i R
UR
L UL
UC
Якщо комплекси напруг замінити добутками комплексів опорів ділянок кола і струму,
то останнє рівняння можна записати у такому вигляді :
де Z - повний опір кола:
R - активний опір; XL - індуктивний опір; XC - ємнісний опір.
Величину jX називають реактивним опором кола:

Три варіанти співвідношень індуктивного і ємнісного опорів в колі:
а) - активно-індуктивний характер кола;
б) - активно-ємнісний характер кола;
в) - чисто активний характер кола, резонанс напруг.
+j +j +j
Ůc UL ŮL Ůc
UL
UС
φ1>0 +1 ŮR İ +1 φ3 = 0 +1
ŮR İ φ2<0 UR=Ů İ
а) б) в)
Ů
Ů
(вектор струму І відстає від
вектора напруги U на кут φ1>0)
(вектор струму випереджає
вектор напруги на кут φ2<0)
(вектор струму збігається з
вектором напруги, кут φ3=0)
Явище, при якому в послідовному колі реактивні опори рівні, а вектор напруги і струму
збігається по фазі , називається резонансом напруги.
При резонансі напруги індуктивний опір рівний ємнісному:
Повний опір рівний активному і є мінімально можливим:
Струм в ланцюзі максимальний:

U, X, I
UC XC I XL UL
Uа
Uмережі
0 fрез f
Явище резонансу – небажане. Підвищення напруги може призвести до аварій
(пробою ізоляції і наступному короткому замиканню).
Якщо опори XLрез=XCрез >>R, то напруги ULрез≈UCрез будуть значно перевищувати
загальну напругу U, прикладену до ланцюга.
Резонансну частоту визначають:
ωL = 1/ωC, звідси
.

4. Паралельне з’єднання елементів R, L, C. Резонанс струмів
+j
І U +1
При паралельному з’єднанні елементів рівняння за першим законом Кірхгофа
для миттєвих та діючих значень струмів мають вигляд:
і = і1 + і2 ,
І = І1+І2 .
Значення струму першої і другої гілок за законом Ома визначимо як:
З векторної діаграми видно, що вектор струму І1 у першій гилці відстає від
прикладеної напруги на деякий кут φ1, а вектор струму І2 випереджає прикладену
напругу на кут 90°, тому що має виключно ємнісний характер. При рівності
реактивної складової струму першої гілки І1 і струму другої гілки І2 загальний
струм І, споживаний колом, стає рівним активній складовій струму першої
гілки I1А і співпадає по фазі з напругою живлення кола U.
І1L I1 I2
I1А
φ1
I R
L
C
I1 I2
U

Явище, при якому в колі з паралельно з'єднаними активно-індуктивним і ємнісним опорами реактивні провідності гілок рівні, а, отже, вектори струму і напруги збігаються по фазі, називається резонансом струмів.
При резонансі струмів коло являє собою виключно активний опір. Активна потужність Р, споживана колом, дорівнює повній потужності, реактивна потужність Q дорівнює 0.
Умовою виникнення резонансу струмів є рівність реактивних провідностей першої і другої гілки:
При цьому φ=0; cos φ = 1.
Струми у гілках з реактивними елементами можуть значно перевищувати струм у нерозгалудженій ділянці кола, що представляє небезпеку для експлуатації електричних кіл.

5. Потужність кола синусоїдного струму
Миттєва потужність кола синусоїдного струму визначається добутком миттєвого струму та миттєвої напруги
Р= і∙u .
Повна потужність у символічному вигляді визначається добутком комплексу напруги та спряженого комплексу струму
.
В тригонометричній та алгебраїчній формах:
де S=UI – модуль повної потужності , B∙А,
Р=UI cosφ – активна потужність, Вт,
Q =UI sinφ – реактивна потужність, вар.
Величина соs φ називається коефіцієнтом потужності. Він характеризує ступінь
використання електричної енергії, тобто ефективність роботи даного пристрою або
системи:
.
.