Магнитное поле. Лекция 22. Магнитный поток. Закон фарадея. Самоиндукция

Поток вектора магнитной индукции
Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через малую поверхность площадью называется скалярная физическая величина, равная
Магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца.
Поэтому поток вектора через замкнутую поверхность должен быть равен нулю.
Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции
Линии магнитной индукции замкнуты, поэтому число линий, входящих в некоторый объем пространства, равно числу линий, выходящих из этого объема.
Если входящие потоки брать с одним знаком, а выходящие — с другим, то суммарный поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность будет равен нулю.

Работа по перемещению проводника с током
в магнитном поле
Под действием силы Ампера F=IBl, проводник переместился из положения 1 в положение 2 на dx.
В однородном магнитном поле находится проводник длиной l, который может свободно перемещаться.
Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка – к «нам».

где dS=ldx – площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле;
dФ=BdS – поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь.
Работа, совершаемая магнитным полем:

Электромагнитная индукция
Опыты Фарадея
Опыт 1. Соленоид подключен к гальванометру.
Если в соленоид вдвигать (или выдвигать) постоянный магнит, то в моменты вдвигания (или выдвигания) наблюдается отклонение стрелки гальванометра, т.е. в соленоиде индуцируется ЭДС.
Фарадей Майкл
1791 - 1867

Направление отклонения стрелки при вдвигании и выдвигании противоположны.
Если постоянный магнит развернуть так, чтобы полюса поменялись местами, то и направление отклонения стрелки изменится на противоположное.
Отклонение стрелки гальванометра тем больше, чем больше скорость движения магнита относительно соленоида.
Такой же эффект будет, если постоянный магнит оставить неподвижным, а относительно его перемещать соленоид.

Отклонение стрелки гальванометра наблюдается:
1) в моменты включения или выключения тока;
2) в моменты его увеличения или уменьшения;
3) при перемещении катушек друг относительно друга.
Опыт 2. Один соленоид подключен к источнику тока. Другой соленоид подключен к гальванометру.

При включении и выключении стрелка отклоняется в разные стороны, т.е. знак индуцированной ЭДС в этих случаях различен.
Такой же эффект – наведение в катушке ЭДС различного знака – наблюдается при увеличении или уменьшении тока в катушке, при сближении или удалении катушек.

В опытах Фарадея было открыто явление электромагнитной индукции.
В замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает индукционный электрический ток.
Явление электромагнитной индукции

Свойства индукционного тока
Индукционный ток возникает всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции.
2. Сила индукционного тока не зависит от способа изменения потока магнитной индукции, а определяется скоростью его изменения.

Экспериментальные факты. В опытах Фарадея при любом изменении потока магнитной индукции, сцепленного с контуром, всегда возникал индукционный ток.
Закон Фарадея
О чём это говорит? Возникновение индукционного тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы.
Эта ЭДС называется электродвижущей силой электромагнитной индукции .

ЭДС электромагнитной индукции в контуре численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром:
Обсуждение знака «-». Он показывает, что увеличение магнитного потока вызывает ЭДС εi<0, т.е. поле индукционного тока направлено навстречу потоку;
уменьшение магнитного потока вызывает εi>0, т.е. направления потока и поля индукционного тока совпадают.

Направление индукционного тока.
Правило Ленца
Индукционный ток в контуре всегда принимает такое направление, что созданное им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающему данный индукционный ток.
Ленц
Эмилий Христианович
1804 - 1865

Металлическое кольцо приближается к северному полюсу постоянного магнита
Металлическое кольцо приближается к южному полюсу постоянного магнита

Магнитное поле возрастает
Возрастает магнитная индукция
Возрастает магнитный поток
Согласно закону Фарадея
в контуре возникает ЭДС индукции
4. Возникает индукционный ток
5. Направление тока определяется по
правилу Ленца
Магнитное поле убывает

Падение тел (проводящего кольца) в неоднородном магнитном поле

Закон Фарадея (вывод Гельмгольца)
Под действием FA проводник переместится на dx
Сила Ампера совершит работу
Воспользуемся законом сохранения энергии
- закон Ома
Сумма действующих ЭДС в цепи
Падение напряжения на сопротивлении
- закон Фарадея
Гельмгольц
Герман Людвиг Фердинанд

Иллюстрация правила Ленца.
Магнитное поле индукционного тока направлено навстречу внешнему полю,
если поток вектора индукции внешнего магнитного поля возрастает со временем
(препятствует возрастанию).
i – индукционный ток;
– магнитное поле индукционного тока;
– внешнее магнитное поле.

Иллюстрация правила Ленца.
Магнитное поле индукционного тока направлено по
внешнему полю,
если поток вектора индукции внешнего магнитного поля убывает со временем
(препятствует убыванию).
i – индукционный ток;
– магнитное поле индукционного тока;
– внешнее магнитное поле.

Вихревой ток - это индукционный ток, возникающий в массивных сплошных проводниках, помещенных в переменное магнитное поле.
Они оказываются замкнутыми в толще проводника и поэтому называются вихревыми.
Вихревые токи (токи Фуко)
Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах при плавке металла или приготовлении пищи.
Такая печь является большой катушкой, питаемой высокочастотным током большой силы.
Катушка создает переменный магнитный поток через помещенный в печь образец, а возникающие токи Фуко разогревают последний.
Фуко Леон
(1819 – 1868)

Движущийся проводник
При движении проводника в постоянном магнитном поле на электроны внутри проводника действует сила Лоренца.
Природа ЭДС электромагнитной индукции
Возбуждение ЭДС индукции при движении контура в постоянном магнитном поле объясняется действием силы Лоренца, возникающей при движении проводника.
1 этап
2 этап

Переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике.
Максвелл
Джеймс Клерк
Неподвижный проводник.
Мы знаем, что сила Лоренца на неподвижные заряды не действует.
Предположение Максвелла

Вихревое электрическое поле:
1. не является электростатическим;
2. возбуждается изменениями магнитного поля;
3. имеет непрерывные силовые линии.
Циркуляция вихревого электрического поля по любому контуру L проводника представляет собой ЭДС электромагнитной индукции:

Рамка вращается равномерно с угловой скоростью
Вращение рамки в магнитном поле
Магнитный поток, сцепленный с рамкой площадью S, в любой момент времени t равен
α – угол поворота рамки в момент времени t.
При равномерном вращении рамки в однородном магнитном поле в ней возникает переменная ЭДС, изменяющаяся по гармоническому закону.

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создаёт вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био-Савара-Лапласа, пропорциональна току.
Индуктивность контура
Сцепленный с контуром магнитный поток пропорционален току в контуре
- индуктивность контура.
Потокосцепление соленоида (полный магнитный поток сквозь соленоид)

N – число витков соленоида,
l – его длина,
S – площадь,
μ0 – магнитная постоянная,
μ – магнитная проницаемость сердечника.
Индуктивность контура зависит от:
геометрической формы контура;
размеров контура;
магнитной проницаемости той среды, в которой он находится.

Явление самоиндукции
При изменении силы тока в контуре будет изменяться и сцепленный с ним магнитный поток, а это, в свою очередь, будет индуцировать ЭДС в этом контуре.
Явление возникновение ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре вследствие изменения тока, текущего в этом контуре называется явлением самоиндукцией.

ЭДС самоиндукции (закона Фарадея):
Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L=const и ЭДС самоиндукции
знак « - », обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем.

Если ток со временем возрастает, то εs<0, т.е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляет его возрастание.
Если ток со временем убывает, то εs>0, т.е. ток самоиндукции имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание.
Вывод:
Контур, обладая определённой индуктивностью L, приобретает электрическую «инертность».

При замыкании цепи ЭДС самоиндукции вызывает ток, препятствующий увеличению основного тока в цепи, что делает конечной скорость роста силы тока.
При размыкании цепи ЭДС самоиндукции вызывает ток, препятствующий уменьшению основного тока в цепи, что делает конечной скорость убывания тока.
Токи при замыкании и размыкании цепи
Если бы не ЭДС самоиндукции, то при замыкании цепи ток мгновенно нарастал бы до своего стационарного значения, а при размыкании цепи, мгновенно убывал бы до нуля.

Ток в цепи определяется законом Ома
Разделяем переменные:
и интегрируем по I (от I0 до I) и по t (от 0 до t):
или
Размыкание цепи. Рассмотрим цепь сопротивлением R и индуктивностью L. Под действием ЭДС ε в ней течёт постоянный ток
В момент времени t=0 отключим источник тока. Возникает ЭДС
препятствующая уменьшению тока.
самоиндукции

Тогда
При выключении источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (а не мгновенно).
Значение ЭДС самоиндукции при мгновенном увеличении сопротивления от R0 до R
Вывод: при резком размыкании контура ЭДС самоиндукции εs, может во много раз превысить ε, что может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов.

При замыкании цепи помимо внешней ЭДС ε возникает ЭДС самоиндукции εs, препятствующая возрастанию тока. По закону Ома,
Можно показать, что решение этого уравнения имеет вид
Вывод: при включении источника тока сила тока возрастает по экспоненциальному закону (а не мгновенно).
где
– установившийся ток при

Взаимной индукцией называется явление возбуждения ЭДС электромагнитной индукции в одной электрической цепи при изменении электрического тока в другой цепи или при изменении взаимного расположения этих двух цепей.
Взаимная индукция
Исходные условия. два неподвижных контура 1 и 2 с токами I1 и I2, расположенных достаточно близко друг от друга. При протекании в контуре 1 тока магнитный поток пронизывает второй контур
Аналогично

Коэффициенты пропорциональности L21 и L12 равны друг
L12=L21=L другу и называются взаимной индуктивностью контуров.
При изменении силы тока в одном из контуров, в другом индуцируется ЭДС
Взаимная индуктивность контуров зависит от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды.

Пример. Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на тороидальный сердечник.
Первая катушка с числом витков N1 и током I1 создает поле
Магнитный поток сквозь один виток второй катушки
где l – длина сердечника по средней линии.

Поскольку поток ψ создаётся током I1, то
Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, содержащую N2 витков:
Данное устройство является примером трансформатора.

Определение. Это устройства, применяемые для повышения или понижения напряжения переменного тока. Принцип действия основан на явлении взаимной индукции.
Трансформаторы
Исходные условия. Переменный ток I1, создает в первичной обмотке переменное магнитное поле. Это вызывает во вторичной обмотке появление ЭДС взаимной индукции. При этом
где N1 и N2 – число витков в первичной и вторичной обмотках, соответственно.

Отношение – показывающее, во сколько раз ЭДС во вторичной обмотке трансформатора больше (или меньше), чем в первичной, называется коэффициентом трансформации.
Если:
k>1, то трансформатор – повышающий,
k<1 – понижающий.

Энергия магнитного поля
Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром

Исходные условия. Рассчитаем магнитное поле длинного соленоида, используя уже известные формулы:
Используя эти соотношения, получим
где V=Sl – объём соленоида.

Магнитное поле длинного соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с объемной плотностью
Эти соотношения носят общий характер и справедливы и для неоднородных полей, но только для сред, для которых связь между и линейная (т.е. для пара- и диамагнетиков).

1) магнитное поле (бесконечного) соленоида в вакууме
Соленоид – свёрнутый в спираль изолированный проводник, по которому течёт электрический ток.
Необходимо отметить. Циркуляция вектора по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, равна
Исходные условия. Соленоид имеет длину l, состоит из N витков.
Магнитные поля соленоида и тороида

На участках AB и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции, следовательно, Bcos900=0. Можно показать, что вне бесконечного соленоида магнитное поле B=0. На участке DA контур совпадает с линией магнитной индукции, внутри соленоида поле однородно (Bcos00=B), поэтому

2) магнитное поле тороида в вакууме
Тороид - кольцевая катушка с витками, намотанными на сердечник, имеющий форму тора, по которой течет ток.
Необходимо отметить. Линии магнитной индукции есть окружности, центры которых расположены на оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r.
Исходные условия. Магнитное поле отсутствует вне тороида, а внутри его оно является однородным.
По теореме о циркуляции
N – число витков тороида.

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через площадку dS – СФВ, равная
где α – угол между векторами и
– вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали к площадке.
Поток вектора магнитной индукции
Поток вектора может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cosα.

Поток вектора связывают с контуром, по которому течет ток. Положительное направление нормали к контуру связано с направлением тока по правилу правого винта. Поэтому магнитный поток, создаваемый контуром с током через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.
Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S:

Теорема Гаусса для магнитного поля в вакууме: поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность S равен нулю
Эта теорема отражает факт
отсутствия магнитных зарядов,
вследствие чего
линии магнитной индукции
не имеют ни начала, ни конца
и являются замкнутыми.

Работа по перемещению проводника
с током в магнитном поле
Отметим. Под действием силы Ампера F=IBl, проводник переместился из положения 1 в положение 2.
Исходные данные. В однородном магнитном поле находится проводник длиной l, который может свободно перемещаться. Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка – к «нам».

где dS=ldx – площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле;
dФ=BdS – поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь.
Работа, совершаемая магнитным полем:

Работа по перемещению контура
с током в магнитном поле
Отметим. Работа dA сил Ампера при перемещении контура ABCDA равна сумме работ по перемещению проводников ABC (dA1) и CDA (dA2), т.е.
Исходные данные. Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка –
от «нас».

Особенно важно. 1) При перемещении участка CDA силы Ампера направлены в сторону перемещения (образуют с направлением перемещения острые углы), поэтому dA2>0:
2) Силы, действующие на участок ABC контура, направлены против перемещения (образуют с направлением перемещения тупые углы), поэтому dA1<0:
Больше страховать я не буду

В сумме
Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле
равна произведению силы тока в контуре
на изменение магнитного потока,
сцепленного с контуром.