Метрология. Случайные погрешности: статистические методы оценивания

Случайная величина: переменная, которая может принимать любое значение из заданного множества, при этом с ней связана функция распределения.
Случайная величина может быть дискретной (принимает определённые значения) и непрерывной (любое значение из конечного или бесконечного интервала).
Свойства функции распределения F(x):
показывает вероятность (от 0 до 1) того, что значение случайной величины ξ окажется меньше x;
непрерывная, неубывающая
F(-∞)=0; F(+∞)=1;
вероятность того, что a<ξ
Определения ГОСТ Р 50779.10:

Определения ГОСТ Р 50779.10:

Генеральная совокупность – множество всех значений случайной величины.
В метрологии – гипотетический объект, например, бесконечное множество всех возможных диаметров деталей (уже изготовленных и тех, которые только будут изготавливаться).
Результаты измерений = выборка из ГС.
Большинство моделей метрологии построены на предположении, что свойства ГС не изменяются в результате выборки. На практике (ГС содержит сравнительно мало элементов) это может быть не верным.
Определения ГОСТ Р 50779.10:

Результаты измерений представляют собой выборку. Задача – по выборке определить характеристики генеральной совокупности.
Определения (рабоче-крестьянские):
Генеральная совокупность
Выборка

Характеристики непрерывного распределения:

Нормальное распределение

Простейшая модель:
результат измерения = истинное значение измеряемой величины + случайная величина с М=0 и нормальным распределением.
(систематические погрешности = 0).
Следствие: найдём среднее значение результатов измерений – получим истинное значение величины.
На практике всё сложнее:
мы можем не знать часть параметров ГС;
мы можем не знать все параметры ГС;
мы можем не знать вид распределения ГС.
Наша задача – установить это всё по выборке.
Модель погрешности измерений:

- нахождение параметров ГС по имеющейся выборке.
Точечная оценка – оценка одним числом. Интервальная оценка – параметр оценивают двумя числами (границами интервала), внутри которого с известной вероятностью находится искомое значение.
Пример:
«средний рост жителей Новоуральска равен 174 см» – точечная оценка.
«средний рост жителей Новоуральска с вероятностью 95% находится в интервале от 170 см до 180 см» – интервальная оценка.
Параметрическое оценивание:

Характеристики точечных оценок:
Состоятельность. Способ (алгоритм) оценивания является состоятельным, если с увеличением объёма выборки оценка асимптотически приближается к истинному значению.
Несмещённость оценки. Математическое ожидание оценки должно быть равно математическому ожиданию истинного значения.
Эффективность метода оценивания. Дисперсия оценки минимальна, т.е. график приближается к истинному значению быстрее всего.
по горизонтали – объем выборки, по вертикали – значение параметра, истинное значение равно 0.
Параметрическое оценивание:

Точечное оценивание

.
Нормальное распределение
Подчиняются ли результаты измерений нормальному закону распределения - в каждом опыте нужно решать отдельно
Часто исследователи приписывают «нормальность» распределению, чтобы использовать более простые формулы

.
Равномерное (прямоугольное) распределение

.
t-распределение (Стьюдента)
Используют для вычисления доверительных границ при интервальном оценивании с малым числом измерений

Вариант 1: ГС имеет нормальное распределение, известно его СКО.
Оценить результат n многократных измерений и определить доверительные интервалы погрешности.
Например: серийное производство, действительное значение СКО ГС используется для наладки процессов.
Вариант 2: ГС имеет нормальное распределение, неизвестны его МО и СКО. Чаще всего встречается в практике.
Например: определяем характеристики партии закупленных комплектующих, статистика производителя отсутствует.
Если ГС имеет нормальное распределение, то такая задача решается до конца, поэтому часто не задумываясь считают распределение ГС нормальным. Это не всегда так!
Доверительные интервалы погрешности

Вариант 3: вид распределения ГС не известен, его МО и СКО не известны, но они существуют.
Пример: производитель осуществляет сплошной контроль с отбраковкой:
Доверительные интервалы погрешности
Поле допуска

Доверительные интервалы погрешности

Доверительные интервалы погрешности

ГОСТ Р 8.736-2011. ГСИ. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения
Дано: результаты измерений (выборка) xi = х1, х2 … хn
Последовательность действий:
исключить известные систематические погрешности;
вычислить оценку измеряемой величины и среднее квадратическое отклонение результатов измерений;
проверить на отсутствие грубых погрешностей (при необходимости исключить их);
проверить гипотезу о принадлежности результатов измерений нормальному распределению;
вычислить доверительные границы случайной погрешности оценки измеряемой величины;
вычислить доверительные границы неисключенной систематической погрешности оценки измеряемой величины;
вычислить доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины.
Обработка многократных измерений

Среднее арифметическое исправленных результатов:
СКО результатов измерений
Дальнейшие расчёты носят вероятностный характер. Обычно принимаем q=5% (все результаты верны с вероятностью 95%), в ответственных случаях (здоровье людей) допускается q=1% и ниже.
Обработка многократных измерений

Критерий Граббса
Исключение грубых погрешностей

Проверяем, что результаты измерений подчиняются нормальному распределению:
при n больше 50 – критерий Пирсона или Мизеса-Смирнова
при n больше 15 – составной критерий (см. ниже). Результаты считаются распределёнными по нормальному закону, если выполняются обе части составного критерия.;
при n = 15 и меньше – проверить невозможно, принадлежность нормальному распределению должна быть обоснована (обеспечена) методикой измерений.
Обработка многократных измерений

Критерий 1. Результаты измерений распределены по нормальному закону, если:
Проверка выборки на нормальность

Критерий 2. Результаты измерений распределены по нормальному закону, если не больше m разностей
превзошли произведение
Проверка выборки на нормальность

находят в виде
*Если распределение результатов измерений не является нормальным – этот и дальнейшие расчёты делать нельзя, действуем по методике измерений.
Доверительные границы случайной погрешности
=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(1-P;n-1)

Неисключённая систематическая погрешность (НСП) образуется из составляющих НСП:
метода;
средства измерений;
других источников.
1. При хорошем методе измерений НСП = пределам допускаемых основных (дополнительных) погрешностей средств измерений.
2. Если НСП имеет две составляющие, то
3. Если НСП состоит из трёх и более составляющих – см. ГОСТ р 8.376, п. 8.3 и 8.4.
Доверит. границы систематической погрешности

Доверительные границы погрешности оценки измеряемой величины:
В случаях (1) и (2) – см. предыдущий слайд ,
иначе – см. ГОСТ р 8.376, формула (15).
Доверительные границы погрешности оценки

Итоговый результат

Результаты измерения диаметра вала (30 значений)
8.736 измерения пример.xlsx
Измерения проведены микрометром, погрешность средства измерения = 0,01 мм.
Ожидаю погрешности во втором десятичном знаке, записываю промежуточные данные с четыремя десятичными знаками.
1) среднее арифметическое =СРЗНАЧ(A1:A30)
=20,0057
2) СКО =СТАНДОТКЛОН.В(A1:A30)
=0,2027
Пример:

3) найдём максимальное и минимальное измеренные значения =МАКС(A1:A30) =МИН(A1:A30)
=20,81 =19,62
4) Вычислим критерии Граббса:
G1=3,9681 G2=1,9026
5) Для n=30 и 95% вероятности допустимо G=2,908, поэтому максимальное значение x нужно удалить. После этого пересчитываем всё сначала:
1*) среднее арифметическое =19,9779
2*) СКО =0,1366
3*) хМАКС=20,24 хМИН=19,62
4*) G1=1,9189 G2=2,6208
5*) Для n=29 и 95% вероятности допустимо G=2,893 – всё ок
Пример:

Пример:

Пример: