Приближенное подобие и моделирование

Подобие
Подобными называются явления, которые имеют одинаковую физическую природу и описываются одинаковыми по форме и по содержанию уравнениями.
Подобными физическими системами называют однородные физические системы, в которых все описывающие их одноименные сходственные величины пропорциональны.
Под однородными физическими системами понимаются однородные геометрические системы, внутри которых протекают физические явления одинаковой природы, например, гидродинамические, электрические и т.п.
Для подобия двух однородных физических систем необходимо, чтобы в описывающих их совокупностях величин сходственные одноименные безразмерные параметры (приведенные к безразмерному виду одинаковым способом) были одинаковы.

Понятие о приближенном подобии и моделировании
Большие трудности встречаются, в частности, при моделировании таких процессов, как горение, продувка металла и шлака, тепломассообмен и т.д.
Чаще всего для решения инженерных и научно-технических задач целесообразным оказывается выявление лишь основных, наиболее существенных закономерностей процесса без учета второстепенных факторов, т.е. использование приближенных методов.

«Слишком точные вычисления с учетом несущественных факторов не только бесплодны и излишне усложняют результаты расчета, но могут даже привести к тому, что существенные в данном явлении закономерности вообще выпадут из рассмотрения".
© Л .Д . Ландау

Безразмерные величины
Размерными величинами называются, числовые значения которые зависят от принятых масштабов, т.е. от системы единиц измерения.
Безразмерные величины, производные физической величины, не зависящие от изменения в одно и то же число раз величин, выбранных за основные. Если, например, за основные величины выбраны длина L, масса М и время Т и их изменения в одно и то же число раз не влияют на размер данной величины, то размерность такой величины равна L°M°T° = 1, и она в этой системе величин является безразмерной. К Безразмерным величинам относятся все относительные величины: относительная плотность (плотность тела по отношению к плотности воды), относительное удлинение, относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости и т.д., а также критерии подобия (числа Рейнольдса, Прандтля и другие выражаются в отвлечённых единицах. Относительные величины выражаются также в процентах (%) и промилле (‰)

Отличия безразмерных зависимостей от размерных
Важной особенностью размерных зависимостей является то, что информация о соотношениях между эффектами и об условиях однозначности в них фактически не разделена, так как каждая из величин, входящих в такие зависимости, выражена в универсальных единицах, т.е. сопоставляется с общепринятыми эталонами (масштабами) .
Содержится информация двух видов:
1) об условиях однозначности, т.е. об области протекания рассматриваемого процесса;
2) о количественных соотношениях между интенсивностями существенных для процесса физических эффектов или величин
Особенностью безразмерных зависимостей является то, что при получении их вместо универсальных масштабов (единиц измерения) величин используются такие, которые являются существенными именно для рассматриваемых процессов. В результате универсальные масштабы (единицы измерения) фактически исключаются из безразмерных зависимостей, а следовательно, исключаются фактически сведения о размере области протекания конкретного процесса.
Остается только один вид информации — информация о количественных соотношениях между действующими физическими эффектами.

Физический смысл безразмерных величин заключается в следующем: безразмерные физические величины являются приближенной количественной мерой соотношения интенсивностей физических эффектов.
У подобных процессов, совпадают только количественные соотношения между соответствующими физическими эффектами, а размеры областей протекания процессов в общем случае не совпадают.

Физически подобными называются такие геометрически и физически однородные процессы, у которых в исследуемом диапазоне совпадают количественные соотношения между интенсивностями соответствующих физических эффектов.
Если процесс развивается под действием нескольких физических эффектов разной величины (интенсивности), то влияние на такой процесс эффекта малой величины по сравнению с остальными величинами ,должно быть незначительным и, следовательно, влиянием этого эффекта можно пренебречь.

Принцип пренебрежения влиянием эффектов (членов уравнений) малой по сравнению с другими величины широко используется в настоящее время в различных отраслях науки и техники и является одним их важнейших при решении многих инженерно-технических задач.
Так, в математике при разложении функций в бесконечные ряды пренебрегают членами ряда высокого порядка для получения удобных приближенных формул. При выводе формул для частных производных и полного дифференциала функции нескольких переменных известная формула
получена путем отбрасывания членов, содержащих такие малые величины высокого порядка, как
Этот принцип широко применяется в гидроаэромеханике. Так, при получении приближенных решений уравнения Навье—Стокса ( для турбулентного режима пренебрегают членом, учитывающим действие сил вязкости, а для ламинарного режима — членом, учитывающим действие сил инерции ).

Приближенное моделирование
Такое моделирование, при котором обеспечивается равенство на модели и оригинале критериев, существенно влияющих на процесс в интересующей областей, и не выполняется равенство критериев, незначительно (слабо) влияющих на процесс.

Основной задачей теории приближенного подобия следует считать разработку методов оценки значимости критериев
Существенным следует считать такой критерий, изменение численного значения которого при неизменности значений других приводит к существенному изменению численного значения безразмерной функции.
Несущественным следует считать такой критерий, изменений численого значения которого при неизменности значения остальных не приводит к изменению численного значения безразмерной функции.

Необоснованное пренебрежение условиями подобия
Покажем опасность такого "моделирования" на примере исследования движения жидкости (газа) в каком-либо агрегате. Из гидродинамики известно, что при точном моделировании такого процесса необходимо выполнить равенство для модели и образца критериев Re:
можно найти, что при точном моделировании скорость жидкости для модели нужно выбирать по такому соотношению:
Примем, например, что для интересующего нас процесса в оригинале Re = 50000. Если при моделировании мы используем ту же жидкость, что и в оригинале (v’ = v) , а линейные размеры модели примем в 10 раз меньше оригинала d’=0,1d, то w’=10w т.е. для модели нужно выбрать скорость в 10 раз больше.
Если же необоснованно пренебречь условиями подобия и выбрать скорость на модели, например, в 10 раз меньше (как и линейный масштаб), чем в оригинале w' = 0,1 w , то получим:
При таком значении Re (Re < 2300) режим движения на модели будет ламинарным, тогда как на образце он турбулентный (Re > 10000). Следовательно, такая "модель" даст совершенно неверную картину движения и перемешивания газа.

ВЫРОЖДЕНИЕ ВЛИЯНИЯ КРИТЕРИЕВ
Бесконечное уменьшение и увеличение численного значения критерия говорит о несоизмеримости сопоставляемых эффектов, влияние на процесс бесконечно больших и малых критериев должно вырождаться.
При приближенном моделировании критерии целесообразно подразделять на следующие группы:
1) существенные;
2) вырожденные несущественные;
3) вырожденные формальные (несамостоятельные)

Существенные критерии - отражают соотношение между соизмеримыми физическими эффектами, а изменение численного значения которых при неизменности любых других существенно влияет на значение безразмерной функции.
Вырожденные - критерии, отражающие соотношения между несоизмеримыми эффектами. Признаком вырожденности является несоизмеримость критерия с единицей. Любой критерий при обоих предельных значениях (-► 0; -► ∞) вырождается
Признаком несамостоятельности, т.е. формальности критериев в рассматриваемой совокупности, является несоизмеримость с единицей не одного, а сразу двух или более критериев, имеющих общую группу физических величин. Причем, формальными следует считать все такие несоизмеримые с единицей критерии.