Примеры решения задач. Водородоподобные атомы. Оптические спектры излучения

А1. Найти радиусы rk трёх первых боровских электронных орбит в атоме водорода и скорости vk электрона на них.
Дано:
k1 = 1
k3 = 3
rk - ?
Vk - ?
Решение.
Здесь n – целое число, Z = 1.
Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода может находиться на орбитах с радиусами
Радиус орбиты произвольного состояния с любым номером n удобно выражать через радиус первой боровской орбиты:
Для атома водорода (Z = 1)
(м).
(м).
(м).

Скорость электрона в атоме водорода определим из второго закона Ньютона.
А1. Найти радиусы rk трёх первых боровских электронных орбит в атоме водорода и скорости vk электрона на них.
Решение (продолжение).
где V - скорость электрона, R - радиус орбиты, Z = 1.
(м).
(м).
(м).

Ответ: r1 = 53 пм; r2 = 212 пм; r3 = 477 пм; v1 = 2,19·106 м/с; v2 = l,1· 106 м/c;
v3 =7,3 ·105 м/c.
А1. Найти радиусы rk трёх первых боровских электронных орбит в атоме водорода и скорости vk электрона на них.
Решение (продолжение).
(м/c).
(м/c).
(м/c).

А2. Найти период Т обращения электрона на первой боровской орбите атома водорода и его угловую скорость ω.
Дано:
n = 1
Z = 1
T - ?
ω - ?
Решение.
Угловую скорость электрона в атоме водорода определим из второго закона Ньютона.
где ω - скорость электрона, R - радиус орбиты, Z = 1.
(рад/c).

А2. Найти период Т обращения электрона на первой боровской орбите атома водорода и его угловую скорость
Ответ: Т =1,43·10-16 с; ω = 4,4·1016 рад/с.
Период обращения по орбите связан с угловой скоростью простым соотношением:
Решение (продолжение).

B2. Определить ток, соответствующий движению электрона по п-й орбите атома водорода.
Решение .
Ток, связанный с движением электрона в атоме водорода
Угловую скорость электрона ω в атоме водорода определим из второго закона Ньютона.
Δq – заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за время Δt.
В качестве сечения проводника рассмотрим плоскость AB на рисунке. Её пересекает один электрон за время, равное периоду обращения электрона вокруг ядра.
где ω - скорость электрона, R - радиус орбиты, Z = 1.

B2. Определить ток, соответствующий движению электрона по п-й орбите атома водорода.
Решение (продолжение) .
n – целое число.
Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода может находиться на орбитах с радиусами

B2. Определить ток, соответствующий движению электрона по п-й орбите атома водорода.
Решение (продолжение) .
Ответ: I1 =1,06·10-2 A.

B1. Фотон с энергией E = 16,5 эВ выбивает электрон из невозбуждённого атома водорода. Какую скорость будет иметь электрон вдали от ядра?
Дано:
E = 16,5 эВ
n = 1
V - ?
Решение.
После поглощения атомом фотона энергия электрона станет
Энергия электрона в основном состоянии в атоме водорода
Энергия электрона больше нуля, следовательно, он удалится от ядра атома на сколь угодно большое расстояние. При этом его потенциальная энергия станет равной нулю, а кинетическая
Скорость электрона на большом удалении от ядра
(эВ).
(эВ).
Ответ: v =1·106 м/с.
(м/с).

А3. Найти наименьшую λmin и наибольшую λmax длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра.
Решение.
К видимой области спектра относятся спектральные линии, связанные с переходами на второй энергетический уровень в атоме водорода (серия Бальмера).
Наибольшую длину волны (минимальную энергию) будет иметь линия, связанная с переходом электрона с уровня с номером m = 3 на уровень с номером n = 2.

А3. Найти наименьшую λmin и наибольшую λmax длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра.
Решение (продолжение).
(м).

А3. Найти наименьшую λmin и наибольшую λmax длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра.
Наименьшую длину волны (максимальную энергию) будет иметь линия, связанная с переходом электрона с уровня с номером m = ∞ на уровень с номером n = 2.
Решение (продолжение).

Ответ: λmin =365 нм; λmax =656 нм.
А3. Найти наименьшую λmin и наибольшую λmax длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра.
Решение (продолжение).
(м).

А4. Найти наименьшую длину волны в ультрафиолетовой области спектра водорода. Какую наименьшую скорость vmin должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия?
Решение.
К ультрафиолетовой области спектра относятся спектральные линии, связанные с переходами на первый энергетический уровень в атоме водорода (серия Лаймана).
Наименьшую длину волны (максимальную энергию) будет иметь линия, связанная с переходом электрона с уровня с номером m = ∞ на уровень с номером n = 1.

А4. Найти наименьшую длину волны в ультрафиолетовой области спектра водорода. Какую наименьшую скорость vmin должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия?
Решение (продолжение).

Ответ: λ = 91,4 нм; Vmin =2,20·106 м/с.
А4. Найти наименьшую длину волны в ультрафиолетовой области спектра водорода. Какую наименьшую скорость vmin должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия?
(м).
Решение (продолжение).
При возбуждении атома электронными ударами кинетическая энергия электрона должна быть больше (или равна) энергии возбуждения.
(эВ).
(м/с).

А5. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирующих электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную линию?
Решение.
Для того, чтобы было возможно наблюдать только одну спектральную линию, энергия электрона в атоме должна возрасти на величину, равную разности энергий второго и первого квантовых уровней.
(эВ).

А5. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирующих электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную линию?
Решение (продолжение).
При столкновении бомбардирую-щий электрон не может передать энергию, большую, чем кинетическая энергия этого электрона, поэтому.
(эВ).
В то же время электрон атома не должен получить энергию, достаточную для перехода на уровень номер 3.
(эВ).

А5. В каких пределах должна лежать энергия бомбардирующих электронов, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов спектр водорода имел только одну спектральную линию?
Решение (продолжение).
Таким образом, энергия бомбардирующего электрона должна быть меньше энергии, достаточную для перехода электрона в атоме на уровень номер 3.
эВ
(эВ).
Ответ: энергия бомбардирующих электронов должна лежать в пределах
эВ.

А6. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии?
Решение.
Для того, чтобы было возможно наблюдать три спектральные линии, энергия электрона в атоме должна возрасти на величину, равную разности энергий третьего и первого квантовых уровней.
В этом случае можно будет наблюдать линии с энергиями фотонов, равными

А6. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии?
Решение (продолжение).
Энергия фотонов не может быть меньше, чем
Энергия фотонов должна быть меньше, чем
102,6 (нм).

А6. В каких пределах должны лежать длины волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света наблюдались три спектральные линии?
Ответ: 97,3≤ λ ≤102,6 нм.
97,3 (нм).
Решение (продолжение).
Особо отметим, что поглощаться будут только фотоны с энергией, равной энергии перехода.

А??. Какие спектральные линии появятся в видимой части спектра при возбуждении атомов водорода электронами с энергией 13 эВ?
Дано:
Е = 13 эВ
λi - ?
Решение.
При столкновении бомбардирую-щий электрон не может передать энергию, большую, чем кинетическая энергия этого электрона, поэтому энергия перехода должна быть меньше энергии бомбардирующего электрона.
(эВ).

(эВ).
А??. Какие спектральные линии появятся в видимой части спектра при возбуждении атомов водорода электронами с энергией 13 эВ?
Решение (продолжение).
Проверим, какие переходы удовлетворяют этому условию.
(эВ).
(эВ).