Распределения молекул по скоростям и энергиям

3.1.11-16, 20-21
Предшествующее ДЗ:

Вероятность того, что вектор скорости молекулы «попадает в кубик» dxdydz вблизи v вычисляется по правилу умножения вероятностей независимых событий:
Функция распределения для скоростей
Вероятность того, что х-компонента скорости молекулы лежит в интервале от vх до vх + dvх
dP(vх, vх + dvх) = φ(v2х)dvх
ВАЖНО! Из соображений симметрии функция f(v) не должна зависеть от направления скорости, а только от ее величины (или от ее квадрата)
f(v) -> f(v2) = φ(v2х)φ(v2y)φ(v2z)
dP(v) = φ(v2х)φ(v2y)φ(v2z)dvхdvydvz = f(v2)dvхdvydvz
ВАЖНО! Из соображений симметрии функция φ(v2х) должна быть четной, т.е. φ(vх) -> φ(v2х)

Функция распределения для скоростей
ВАЖНО: Функция распределения по скоростям молекул зависит только от модуля (квадрата модуля) скорости и равна произведению трех функций распределения по квадратам компонентов этой скорости:
f(v2) = φ(vx2)φ(vy2)φ(vz2)
Единственная математическая функция, обладающая таким свойством (произведение трех одинаковых функций от разных аргументов равно функции от суммы их аргументов) - это экспонента!
exp(avx2)exp(avy2)exp(avz2)=exp(a(vx2+vy2+vz2)) = exp(av2)
Запишем эти функции распределения и их параметры в виде:
φ(vx2) = Аexp(-avx2/2); f(v2) =A3exp(-av2/2);
где a>0 обязательно, ибо с ростом v функции распределения не должны неограниченно расти

Функция распределения для скоростей
Условие нормировки: А = (a/2π)½
- интеграл Пуассона
φ(vx2) = Аexp(-avx2/2); где a>0
f(v) =A3exp(-av2/2)

Функция распределения для скоростей
Найдем среднее значение квадрата скорости молекулы:
Этот интеграл тоже сводится к интегралу Пуассона.
φ(vx) = (a/2π)½ exp(-avx2/2); где a>0
= 1/a; φ(vx) = (2π
)-½ exp(-vx2/2
);

Функция распределения для скоростей
Из закона равнораспределения энергии по степеням свободы следует:
φ(vx) = (2π
)-½ exp(-vx2/2
)

Функция распределения для скоростей
- функция Максвелла (распределение молекул в идеальном газе по скоростям)

Функция Максвелла для разных температур и масс молекул
Площадь под кривой ВСЕГДА
равна единице

Vвер = (2kT/m)1/2
Vср = (8kT/πm)1/2
Vср.кв = (3kT/m)1/2
>
F(vвер)= 4π-1/2е-1 / vвер = 0,83/ vвер
F(
)= 16π-3/2е-(4/π)/ vвер = 0,804/ vвер
F(vcр.кв)= 6π-1/2е-3/2/ vвер = 0,76/ vвер
>
Три «средние скорости» молекул в газе

ПРИМЕР:
Пример: Смесь азота и кислорода находится при температуре T = 300 K. Найти средние скорости молекул кислорода и азота.

ПРИМЕР:
Пример: Какая примерно доля молекул газа имеет скорости в интервале между
cамой вероятной и средней скоростью
Δv =
- vвер = (2/√π-1) vвер = 0,128 vвер << vвер
ΔP =~ F(vвер)Δv = ( 0,83/ vвер)0,128 vвер = 0,106
…средней и среднеквадратичной скоростью
Δv = vср.кв -
= (√ 1,5 -2/√π)vвер = 0,097 vвер << vвер
ΔP =~ F(
)Δv = ( 0,8/vвер)0,128 vвер = 0,1

Функция распределения по энергиям
F(V)dV = F(E)dE;
E = mV2/2; V2 = 2E/m
dV = dE/(2mE)1/2
∫F(E)dE = 1
= ∫E F(E)dE = 3kT/2
Распределение по полной энергии молекул = iF(E)/3

Функция распределения для энергий
Если учесть, что в гравитационном поле Земли молекулы обладают еще и потенциальной энергией Е = Т + U = mv2/2 + mgy, подставить в выражение для распределения молнекeл по энергиям и проинтегрировать по всем скоростям, можно получить отдельно распределение плотности числа молекул по потенциальным энергиям – то есть, по высоте над поверхностью Земли
Это т.н. распределение Больцмана.

Полное число молекул газа неизменно
Концентрация на нулевой высоте
Концентрации для различных температур
Распределение Больцмана
Свойства
n0 = Nμg/SRT
T2 > T1
Если T2 > T1 то n02 < n01

Распределение Больцмана
Зависимость концентрации молекул в атмосфере от высоты - распределение Больцмана.
p0 = n0kT = (M/S)g
M – масса столба атмосферы с основанием S
Атмосфера у поверхности Земли имеет давление ~105Па = 105Н/м2
ПРИМЕР 1. Высота, на которой давление (теоретически) понижается в 2 раза:
h = RTln2/μg ~> 6км
Зависимость давления от высоты - барометрическая формула.
p = nkT

Распределение Больцмана
Зависимость концентрации молекул в атмосфере от высоты - распределение Больцмана.
p0 = n0kT = (M/S)g
M – масса столба атмосферы с основанием S
Атмосфера у поверхности Земли имеет давление ~105Па = 105Н/м2
ПРИМЕР 2. Эффективная толщина атмосферы:
Hn0 = ∫dh n0exp(-μgh/RT) = n0RT/μg =>
=> H = RT/μg ~ 10км
Зависимость давления от высоты - барометрическая формула.
p = nkT

Парциальные давления в атмосфере
p02(h)/pN2(h) = (21/78)exp((μN -μO)gh/RT)
На высоте ~10км p02(h)/pN2(h) = 18/82
ПРИМЕР:
p(h) = pN2 exp(- μNgh/RT) + pO2 exp(- μOgh/RT) + ..

Парциальные давления в атмосфере
ПРИМЕР: пылинки массой 10-18 г взвешены в воздухе при температуре 300 К. Во сколько раз концентрация пылинок на высоте 10 метров меньше, чем у поверхности пола.
n(h)/n0 = exp(- mgh/kT) =~ e-25 ~ 10-11

Распределение Больцмана
для дискретного энергетического спектра.
Число частиц с энергией Е
В случае дискретного спектра энергий, число частиц в состоянии
Нормировочная постоянная определяется условием
=>

Пример. Система состоящая из N молекул имеет температуру Т. Энергия частиц может принимать два значения Е1=kT и Е2=2kT . Найти число частиц в первом состоянии.
Решение. Используя распределение Больцмана для дискретного энергетического спектра, получаем
Распределение Больцмана
для дискретного энергетического спектра.

Определить поток частиц , вытекающих из поддерживаемого при постоянной температуре T сосуда через небольшое отверстие радиуса R. Считать, что числовая плотность частиц в сосуде равна n.
РЕШЕНИЕ: Направим ось перпендикулярно стенке в направлении вытекающего потока. Считая, что покидающие сосуд молекулы в сечении отверстия имеют положительные проекции скорости и обозначая площадь отверстия S, получим
ПРИМЕР:

3.1.11-16, 20-21
Новое ДЗ:
3.2.1, 3--16, 20-21