Теорема Остроградского – Гаусса

Поток вектора напряженности – скалярное произведение вектора напряженности на вектор площади
единичный вектор, перпендикулярный поверхности

Рассмотрим точечный заряд. Окружим заряд сферой радиусом r.

Поток вектора напряженности сквозь поверхность сферы равен

Таким образом, суммарный поток сквозь замкнутую поверхность определяется зарядом, охватываемым замкнутой поверхностью.

Если поверхность охватывает множество зарядов, то согласно принципу суперпозиции:

Суммарный поток сквозь замкнутую поверхность определяется зарядами, охватываемыми замкнутой поверхностью.

Теорема Гаусса в интегральной форме:
поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов охватываемых этой поверхностью, делённой на ε0.

Поскольку суммарный заряд может быть найден интегрированием по объему
то теорема Гаусса принимает вид:

Пример 1. Определение поля бесконечной нити, заряженной с линейной плотностью τ.

В качестве поверхности выберем поверхность цилиндра. Поток через поверхность, определяется только потоком через боковую поверхность:

Пример 2. Найти напряженность поля двух концентрических заряженных сфер.

Поле двух концентрических сфер в трех областях.

Характер зависимости напряженности поля

Пример 3. Рассмотрим поле двух коаксиальных цилиндров.