Теплоемкость. Модель Дебая. Закон Дебая. Экспериментальные методы исследований фононного спектра

При фиксированном m производящей функцией последовательности является

ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ

ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ

Θ- характеристическая температура Эйнштейна

МОДЕЛь ДЕБАЯ
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ СХЕМА ДЕБАЯ
В модели Дебая все ветви колебательного спектра заменяются тремя ветвями с одним и тем же линейным законом дисперсии

3rN-3
3

кристалла
dN –число нормальных колебаний в интервале от k до k+dk
Интегрирование производится по зоне Бриллюэна

Спектральная функция распределения частот
Число нормальных колебаний в интервале ω − ω+dω

Усреднение по всем направлениям и типам колебаний

аппроксимация Дебая. Первые две зоны Бриллюэна квадратной решетки заменяются окружностью
с той же полной площадью, а весь спектр аппроксимируется линейным законом дисперсии внутри этой
окружности.

Интерполяционная формула Дебая

Функция Дебая
ΘD/T
максимальный квант энергии , способный возбудить колебания решетки
выражает энергию = удельную теплоемкость при всех температурах через один эмпирический параметр

МОДЕЛЬ ЭЙНШТЕЙНА (еще раз)

При очень низких температурах моды с частотами hωs(k) >> kвТ дают пренебрежимо малый вклад
1. Даже для кристалла с полиатомным базисом в сумме по s можно не
учитывать оптические моды, поскольку их частоты ограничены снизу
2. Закон дисперсии трех акустических ветвей ω = ωs(k) -? предельной формой для больших длин волн ω = cs(k) k.
3. Интегрирование по первой зоне Бриллюэна в k-пространстве можно заменить интегрированием по всему k-пространству

аппроксимация Дебая. Первые две зоны Бриллюэна квадратной решетки заменяются окружностью
с той же полной площадью, а весь спектр аппроксимируется линейным законом дисперсии внутри этой
окружности.

аппроксимация Дебая для акустической ветви и аппроксимация Эйнштейна для оптической ветви.
Первая зона Бриллюэна заменяется окружностью с той же площадью, акустическая ветвь аппроксими-
руется линейной ветвью внутри круга, а оптическая — ветвью с постоянной частотой

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО КРИСТАЛЛА
Вывод формулы для теплоемкости, основанный на представлении о фононах

для плотности энергии гармонического кристалла

2

Распределение фононов f(E) по энергиям
(функция Бозе–Эйнштейна)

Исследования рассеяния нейтронов и фотонов представляют собой различные способы анализа фононного спектра - они характеризуются совершенно разными соотношениями между энергией и импульсом

Вид фононного спектра в кристалле кремния (Si)
Знание фононных спектров необходимо для анализа и расчета многих физических свойств твердых тел − оптических, тепловых, электрических и т. д. В экспериментах определяют дисперсионные кривые продольных и поперечных волн в направлениях высокой симметрии. Затем эта информация используется для численного расчета плотности состояний . При интерпретации спектров колебаний очень важным этапом является анализ критических точек.

1/с3 — обратная третья степень длинноволновой фазовой скорости, усредненной по телесному углу и трем акустическим модам