Элементы алгебры логики. Высказывание. Логические операции

Понятие, высказывание и умозаключение
Понятие – это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.
Высказывание – это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается.
Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).

Основоположники логики:

Что такое логика?
Логика (др.-греч. Λογική)- наука о мышлении, о формах, методах и законах интеллектуальной
познавательной деятельности.

Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.
В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями:
Земля вращается вокруг Солнца.
Москва - столица.
Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
Без стука не входить!
Откройте учебники.
Ты выучил стихотворение?
Высказывание
Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием:
Это высказывание ложное.

Высказывание или нет?
Зимой идет дождь.
Снегири живут в Крыму.
Кто к нам пришел?
У треугольника 5 сторон.
Как пройти в библиотеку?
Переведите число в десятичную систему.
Запишите домашнее задание

Логические операции
С помощью союзов «и», «или», «если, то», «не» из нескольких высказываний (повествовательных предложений) можно составить различные новые высказывания.
«и», «или», «если, то», частицы «не» - логические связки, которые подразумевают определённые логические связи между высказываниями.
При этом исходные высказывания, которые нельзя разбить на еще более мелкие, называются простыми, а сконструированные при помощи логических связок – сложными.

V, |, +
∧ , ×, &
¬ , ¯ .
Например, даны четыре простых высказывания:
На улице идет дождь. (А) На улице светит солнце. (В)
На улице пасмурная погода. (С) На улице идет снег. (D)
Составим из них сложные высказывания:
На улице идет дождь и на улице светит солнце. A ^ В
На улице светит солнце или на улице пасмурная погода. В V С
Неверно что на улице идет дождь и на улице идет снег. ¬(А и D)
На улице не идет дождь и на улице не идет снег. ¬ А ^ ¬ D

Диктант
В следующих высказываниях выделите простые, обозначив каждое из них буквой
Например

Проверим !
А = «Число 376 чѐтное», В = «Число 376 трѐхзначное»; А &B.
А = «Новый год мы встретим на даче», В = «Новый год мы встретим на
Красной площади»; А | B.
А = «Земля имеет форму шара». В = «Земной шар из космоса кажется
голубым»; А & B.
А = «На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы
учителя», В = «На уроке математики старшеклассники писали
самостоятельную работу»; А & B.
А = «Зимой мальчики играют в хоккей», В = «Зимой мальчики играют в
футбол»; А & ¬B.

Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Другое название: логическое умножение.
Обозначения: ∧ , ×, &, И.
Таблица истинности:
Графическое представление
Логические операции

Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Другое название: логическое сложение.
Обозначения: V, |, ИЛИ, +.
Логические операции
Таблица истинности:
Графическое представление
A
B
АVВ

Инверсия - логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.
Другое название: логическое отрицание.
Обозначения: НЕ, ¬ , ¯ .
Логические операции имеют следующий приоритет:
инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.
Логические операции
Таблица истинности:
Графическое представление
A
Ā

1. Любое логическое выражение либо истинно, либо ложно.
2. Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные какой-то одной логической операцией.
3. Истинность сложного высказывания можно определить, зная истинность или ложность входящих в него высказываний.
4. Результатом операции отрицания над высказыванием «Пушкин – не гениальный русский поэт» является высказывание «Пушкин – гениальный русский поэт».
5. Высказывание «4 – простое число» истинно. Высказывание «4 – не простое число» ложно.
6. Высказывание «Тигр – это полосатый зверь или домашнее животное», полученное при помощи логического сложения, истинно.
7. Высказывание «Январь – последний зимний месяц и в нем всегда 31 день», полученное при помощи логического умножения, истинно.
8. Даны высказывания «Учитель должен быть умным» и «Учитель должен быть справедливым». Объединение этих высказываний при помощи логической операции конъюнкции означает, что учитель должен быть одновременно и умным, и справедливым.

Пусть А = «На Web-странице встречается слово "крейсер"», В = «На Web-странице встречается слово "линкор"».
В некотором сегменте сети Интернет 5 000 000 Web-страниц. В нём высказывание А истинно для 4800 страниц, высказывание В - для 4500 страниц, а высказывание АVВ - для 7000 страниц.
Для какого количества Web-страниц в этом случае будут истинны следующие выражения и высказывание?
а) НЕ (А ИЛИ В);
б) А & B;
в) На Web-странице встречается слово "крейсер" И НЕ встречается слово "линкор".
Решаем задачу

5000000 – 7000 = 4 993 000 Web-страниц НЕ (А ИЛИ В) A = 4800, B = 4500.
4800 + 4500 = 9300
4800 – 2300 = 2500 Web-страниц
Представим условие задачи графически:
На 2500 Web-страницах встречается слово "крейсер" И НЕ встречается слово "линкор".
5 000 000
7 000
НЕ (А ИЛИ В)
Сегмент Web-страниц
A
B
A&B
9300 – 7000 = 2300 Web-страниц A&B
A
И
А ИЛИ В