Компьютерная арифметика. § 29. Хранение в памяти вещественных чисел

Хранение вещественных чисел
С фиксированной запятой (в первых ЭВМ):
для больших и маленьких чисел нужно масштабирование, которое выполнялось вручную и являлось источником ошибок
0,000000000000012345
123450000000000000,0
С плавающей запятой (автоматическое масштабирование):
положение
запятой
цифры числа
1,2345·10-14
1,2345·1017

Хранение вещественных чисел
1,2345 = 0,12345·101
1,2345 = 0,012345·102
Представление числа с плавающей запятой не единственно!
1,2345 = 123,45·10-2
1,2345 = 12345·10-4
1,2345 = 0,000012345·105

Хранение вещественных чисел
Теоретически оптимальный вариант (целая часть = 0):
0,0012345 = 0,12345·10-2
12,345 = 0,12345·102
всегда 0
один разряд расходуется впустую!
Экономный вариант (целая часть от 1 до B):
основание системы счисления
0,0012345 = 1,2345·10-3
12,345 = 1,2345·101
повышение точности при конечном числе разрядов

Нормализация
Нормализованная форма: значащая часть Z удовлетворяет условию 1 ≤ Z < B, где B – основание системы счисления (стандарт IEEE 754).
Пример:
17,25 = 10001,012 = 1,0001012·24
5,375 =
7,625 =
27,875 =
13,5 =
0,125 =
Двоичная значащая часть всегда 1, это «скрытая единица», которая в ОЗУ не хранится!

Диапазон вещественных чисел
Extended – тип для вычислений в сопроцессоре, единица в значащей части не скрывается.
Single, double – только для хранения.

Число обычной точности (single)
-17,25 = -10001,012 = -1,0001012·24
Значащая часть вещественных чисел хранится в прямом коде
Закодируем число -17,25 в формате single
Т.к.410=1002
-17,25 = -10001,012 = -1,0001012·2100
Значащая часть M = Z-1= 0,0001010…0
Число отрицательное, знаковый разряд равен 1
Как кодируется порядок? Порядок – целое число со знаком, применяется кодирование со смещением Pd=P+d (Pd>0)
Для типа single d=12710=7F16

Число обычной точности (single)
-17,25 = -10001,012 = -1,0001012·24
4 байта = 32 бита
мантисса = дробная часть Z
порядок со
смещением
знак
p = 4 + 127 = 131
= 100000112
С
1
8
A
0
0
0
0