Матрицы. 10 класс

Многие программы работают с данными, организованными в виде таблиц.
Например, при составлении программы для игры в крестики-нолики нужно запоминать состояние каждой клетки квадратной доски.
Можно поступить так: пустым клеткам присвоить код -1, клетке, где стоит нолик, — код 0, а клетке с крестиком — код 1.
Тогда информация о состоянии поля может быть записана в виде таблицы
нет знака
нолик
крестик
строка 2, столбец 3

Матрица — это прямоугольная таблица, составленная из элементов одного типа (чисел, строк и т.д.).
Каждый элемент матрицы имеет два индекса – номера строки и столбца.
Такие таблицы называются матрицами или двумерными массивами. Каждый элемент матрицы, в отличие от обычного (линейного) массива, имеет два индекса — номер строки и номер столбца. В таблице выше зеленым фоном выделен элемент, находящийся на пересечении второй строки и третьего столбца.
нет знака
нолик
крестик
строка 2, столбец 3

При объявлении матриц указывают два диапазона индексов (для строк и столбцов):
const N = 3; M = 4;
var A: array[1..N, 1..M] of integer;
X: array[-3..0, -8..M] of double;
L: array[1..N, 0..1] of boolean;
строки
столбцы

Каждому элементу матрицы можно присвоить любое значение, допустимое для выбранного типа данных.
Поскольку индексов два, для заполнения матрицы нужно использовать вложенный цикл.
Далее в примерах будем считать, что объявлена матрица из N строк и М столбцов, a i и j — целочисленные переменные, обозначающие индексы строки и столбца.
В следующем примере матрица заполняется случайными числами и выводится на экран:
for i:=1 to N do begin
for j:=1 to M do begin
A[i,j]:= random(61) + 20;
write(A[i,j]:3)
end;
writeln
end;
Вложенный цикл!

Такой же двойной цикл нужно использовать для перебора всех элементов матрицы.
Вот как вычисляется сумма значений всех элементов:
s:= 0;
for i:=1 to N do
for j:=1 to M do
s:= s + A[i,j];

Обработка элементов матрицы

Покажем, как можно обработать (например, сложить) некоторые элементы квадратной матрицы А, содержащей N строк и N столбцов.
На рисунке выделены а – главная диагональ матрицы, б – вторая, побочная диагональ, в – главная диагональ и все элементы под ней.
а
б
в

Главная диагональ — это элементы А[1,1], А[2,2], ..., A[N,N], т. е. элементы, у которых номер строки равен номеру столбца.
Для перебора этих элементов нужен один цикл:
for i:= 1 to N do begin
{ работаем с A[i,i] }
end;

Элементы побочной диагонали — это А[1,А], A[2,N-1], ..., А[N,1].
Заметим, что сумма номеров строки и столбца для каждого элемента равны N + 1, поэтому получаем такой цикл перебора:
for i:= 1 to N do begin
{ работаем с A[i,N+1-i] }
end;

В случае обработки всех элементов на главной диагонали и под ней нужен вложенный цикл: номер строки будет меняться от 1 до N, а номер столбца для каждой строки i — от 1 до i:
for i:= 1 to N do
for j:= 1 to i do begin
{ работаем с A[i,j] }
end;

Чтобы переставить строки или столбцы, достаточно одного цикла. Например, переставим строки 2 и 4, используя вспомогательную целую переменную с:
for j:= 1 to M do
c:= A[2,j];
A[2,j]:= A[4,j];
A[4,j]:= c
end;

Задание 1.
Напишите программу, которая заполняет квадратную матрицу случайными числами в интервале [10,99], и находит максимальный и минимальный элементы в матрице и их индексы.
Пример:
Матрица А:
12 14 67 45
32 87 45 63
69 45 14 11
40 12 35 15
Максимальный элемент A[2,2]=87
Минимальный элемент A[3,4]=11

Задание 2.
Напишите программу, которая заполняет квадратную матрицу случайными числами в интервале [10,99], а затем записывает нули во все элементы выше главной диагонали. Алгоритм не должен изменяться при изменении размеров матрицы.
Пример:
Матрица А:
12 14 67 45
32 87 45 63
69 45 14 30
40 12 35 65
Результат:
12 0 0 0
32 87 0 0
69 45 14 0
40 12 35 65

Вопросы и задания
Что такое матрицы? Зачем они нужны?
Сравните понятия «массив» и «матрица».
Как вы думаете, можно ли считать, что первый индекс элемента матрицы — это номер столбца, а второй — номер строки?
Могут ли индексы элементов матрицы принимать отрицательные и нулевые значения?
Что такое главная и побочная диагонали матрицы?
Почему суммирование элементов главной диагонали требует одиночного цикла, а суммирование элементов под главной диагональю — вложенного?