Обработка информации средствами математической логики

Обработка информации математическими средствами
подразумевает 3 этапа:
перевод информации с естественого языка на математический;
преобразование математической модели;
перевод математического результата на естественный язык.
Начнём с подготовки первого этапа.
Как составить логическую формулу по фразе естественного языка?

Элементарные(простые) и сложные высказывания
Какие из выражений являются высказываниями? «Да здравствует солнце, да скроется тьма»
«В романе Толстого «Война и мир» 14563970 слов»
«cos2x + sin2x=1»
«натуральное число х больше 8»
«Число 3 удовлетворяет неравенству 3х+5≤0»
«Солнце и Луна вращаются вокруг Земли»
Элементарное высказывание
ПОВЕСТВОВАТЕЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ
ТОЧНО ИЗВЕСТНО: ИСТИННО ИЛИ ЛОЖНО
Сложное высказывание –
-элементарные высказывания, соединенные логическими союзами
Если в предложении присутствует логический союз (не, и, или, если…,тот…) – это может быть и высказывание, но не элементарное

Запишите логические формулы следующих высказываний:
A. Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлива, и если мистер Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива
Если м-р Дж. сч. , то м-с Дж.с не сч., и если м-р Дж. не сч., то м-с Дж. сч.
Шаг 1: выделяем логические союзы.
Шаг 3: заменяем логические союзы символами: "Если..., то..." на → (под "то")
"не" на ¯
"и" на ^
Шаг 2: всё, что между логическими союзами - это простые высказывания:
повествовательные предложения с одним подлежащим и одним сказуемым.
Заменяем разные высказывания разными заглавными буквами латинского алфавита
и записываем замену: А- " м-р Дж. счастлив", В - "М-с Дж. счастлива"
Если А , то не В, и если не А , то В
Шаг 4: учитываем порядок действий и расстановку скобок

2. Запишите логические формулы следующих высказываний:
B. Если ни в Варшаву мы не поедим, ни в горы не отправимся, то будем ходить на пляж, или, если будет дождь, то будем читать дома книги
Первая импликация заканчивается до"или" , так как перед "или"стоит запятая;
значит сложные высказывания до и после "или" следует заключить в скобки.
Запятую в первой посылке можно заменить на союз "и".

2. Запишите логические формулы следующих высказываний:
C.) Если «Спартак» и «Динамо» проиграют, а «Торпедо» выиграет, то «Локомотив» потеряет 1 место, а на 3 место выйдет «Зенит»
союз"а" может быть заменён на "и";
Спартак и Динамо нельзя объединять в одно высказывание
и обозначать одной буквой, т.к. в высказывание содержится логический союз
и оно будет не простое
Простые высказывания в данном случае лучше не переформулировать, учитывая, что
"не выиграть" - не значит проиграть. Можно ещё сыграть в ничью. Поэтому обозначим:
А - "Спартак проиграл", В - " Динамо проиграл", С - "Торпедо выиграет", D - "Локомотив потеряет 1 место",
Е - "На 3 место выйдет Зенит"

Задача. Пусть Р означает «сегодня идёт дождь», Q – «сегодня ясно», S – «вчера было пасмурно».
Расшифруйте:с)
знак отрицания переводится на русский язык, как "не" или "неверно, что"
Подготовка 3-его этапа моделирования - расшифровка логических формул
но эта фраза тяжеловесна
лучше сначала преобразовать формулу, а потом перевести на русский язык упрощенный вариант
Ответ 1: "Сегодня ясно или неверно, что , если вчера было пасмурно, то сегодня идёт дождь"
Ответ 2: "Сегодня ясно или вчера было пасмурно и сегодня не идёт дождь"

Сформулируйте отрицания следующего высказывания в утвердительной форме:
A)Если летом будет дождливая погода, то ни накупаться, ни загореть нам не удастся.
базовая задача
Решение включает все 3 этапа моделирования:
построение логической формулы;
отрицание логической формулы;
перевод преобразованной формулы на русский язык.
Запятую надо заменить на союз "и".
Летом будет дождливая погода и нам удастся накупаться или загореть
Попробуйте выполнить задание интуитивно, без использования мат. логики и потом сравнить результаты

3 этапа :
построение логической формулы;
отрицание логической формулы;
перевод преобразованной формулы на русский язык.
Сформулируйте отрицания следующих высказываний в утвердительной форме: B)Если урок будет интересным, то никто из учеников (Миша, Вика, Света) не будет смотреть в окно.
!!!В каждом простом высказывании -
1 подлежащее и 1 сказуемое
Урок будет интересным и кто-нибудь: Миша или Вика или Света будет смотреть в окно
важны скобки!!!
(только в последнем переходе)

Одного человека судили за участие в ограблении.
Обвинитель и защитник в ходе судебного заседания заявили следующее:
Обвинитель: Если подсудимый виновен, то у него был сообщник.
Защитник: Неверно.
Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему?
Виновен и сообщника не было

Родители сказали детям: «Если мы поедем летом в дом отдыха, то вы поедете в лагерь». Петя решил: «Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха». Галя сказала: «Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в лагерь». Коля поправил: «Если мы не поедем в лагерь, то родители не поедут в дом отдыха». Чей ответ равносилен тому, что сказали родители?
1этап: Составьте логические формулы высказываний:
Родителей: Пети: Гали: Коли:
2 этап.Составьте таблицу истинности высказываний
в каждом следующем столбце добавляется
только 1 логический союз,
постепенно конструируя нужную формулу
Для исходных простых высказываний
заполняем столбцы разными сочетаниями
1 и 0 в любом порядке
следующие столбцы заполняются строго по определению добавленного логического союза
1 способ
Ā

Родители: Петя: Галя: Коля:
следующие столбцы заполняются строго по определению добавленной логической операции
операция отрицания определяется обратными значениями по отношению к тому высказыванию, что стоит под знаком отрицания
в определении операции"→"только один 0
тогда, когда
у высказываний рядом с этим союзом
стоят значения 1→ 0
3 этап. У кого такие же значения истинности,
как и у родителей?

1 этап: составьте логические формулы высказываний.
Родителей:
Пети:
Гали:
Коли:
Родители сказали детям: «Если мы поедем летом в дом отдыха, то вы поедете в лагерь». Петя решил: «Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха». Галя сказала: «Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в лагерь». Коля поправил: «Если мы не поедем в лагерь, то родители не поедут в дом отдыха». Чей ответ равносилен тому, что сказали родители?
2 способ:
2 этап: преобразуйте высказывания по законам логики

ЗАДАЧА. Найдите значение истинности следующего высказывания:
¬ ( 33 = 27) ˅ (( 2 > 7 ) ˄ (3 · 2 = 5)) =
= ¬ ( 1 ) ˅ (( 0 ) ˄ ( 0 )) =
= ¬ 1 ˅ ( 0 ˄ 0 ) =
= 0 ˅ ( 0 ) =
заменяем скобки на значение их истинности
убираем лишние скобки
заменяем по определению логических операций
убираем лишние скобки
заменяем по определению логических операций
= 0

Задачи. Найдите значение истинности следующего высказывания:
 (7 · 7 = 49) ^ ((3 · 3 = 2) ˅ (23 = 7))
 ¬ ((2 · 2 = 5) ^ (3 · 3 = 7))
 ( ¬ (2 + 2 = 8 → 3 = 5)) → (7 < 9)
”Если число 15 делится на 4, то оно делится и на 2”
= 0
= 1
=1
= 1

Задача. Определить участника преступления, исходя из утверждений оперативников:
"Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал",
"Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал".
1этап. Составьте логическую формулу высказываний:
2 этап.Составьте таблицу истинности высказываний
3 этап. Интересны начальные условия тех строчек, у которых в последнем столбце - 1 - истина от оперов
Иванов участвовал, остальных на доследование

Решите задачу 1.
Однажды комиссару французской полиции Мегрэ пришлось допрашивать трёх свидетелей: месье Клода, месье Жака, месье Дика. Их показания были противоречивы. Каждый обвинял кого-нибудь во лжи: месье Клод утверждал, что месье Жак лжёт; месье Жак обвинял во лжи месье Дика; месье Дик уговаривал комиссара не верить ни Клоду, ни Жаку. Но комиссар Мегрэ очень быстро выяснил, кто преступник, не задав ни единого вопроса. Кто же был правдив?
К-"Клод правдив"
J-"Жак правдив"
D-"Дик правдив"

По подозрению в совершении преступления полиция маленького английского городка задержала мистера Брауна, мистера Олдриджа и мистера Смита. Один из них оказался истиным сквайром, другой - мошенником, третий – прожжёным чиновником. В процессе следствия сквайр говорил правду, мошенник лгал, а чиновник то говорил правду, то лгал. Вот, что они утверждали. Браун:”Я совершил это. Мистер Олдридж не виновен.” Олдридж: ”Мистер Браун не виновен. Преступление совершил Смит.” Смит:”Я не виновен. Преступник - мистер Браун.” Определите фамилии сквайра, мошенника и чиновника, найдите виновного, если известно, что преступление совершено в одиночку.
Решите задачу 2.

Внимание Андрея, Дениса и Марата привлёк промчавшийся мимо автомобиль. “Это английская машина марки “Феррари”- сказал Андрей. - Нет, машина итальянская, марки “Понтиак”, - возразил Денис. - Это “Сааб”, и сделан он не в Англии - заметил Марат.” Оказавшийся рядом знаток автомобиле сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предположений. Какой же марки этот автомобиль и в какой стране он изготовлен
Решите задачу 3.